[EX] Serie di potenze

[Camillo]

Propongo questo esercizio di Analisi 3

Determinare l'insieme di convergenza $I $ di : $ sum_(n=0)^oo (n-2)x^n $ e stabilire quante e quali sono le soluzioni $x in I $ di
$S(x) +1=0 $ .

Trovo che $I in(-1,1)$ e poi ...

[otta96]

Cos'è $S$?

EDIT: Intendi la funzione somma?

[Camillo]

La somma della serie $S(x)= sum _(n=0)^oo (n-2)x^n$

[gugo82]

Vabbè, il calcolo esplicito di $S$ è cosa che prende due minuti scarsi... A quel punto, trovare le soluzioni dell'equazione è immediato.

Quello che si può dire subito è che una soluzione è sicuramente in $]0,1[$.

[Camillo]

I due minuti son passati ma non vedo ancora la luce...

[cooper1]

ci provo ma il calcolo della somma di una serie mi è sempre risultato difficile. spero di non dire sciocchezze.
quella presentata è una serie di potenze di centro $a=0$. per la formula di d'Alambert il raggio di convergenza è $R=1$ e dunque si ha che l'insieme di convergenza è $I=(-1,1)$.
per la somma vedo la serie in questo modo:
$sum_(n=0)^(oo) nx^n-2sum_(n=0)^(oo) x^n = x/(1-x)^2 - 2/(1-x)$
a questo punto si tratta di risolvere l'equazione (mi viene x=2/3).
è corretto?

[pilloeffe]

Ciao cooper,

occhio che l'equazione finale da risolvere non è $S(x) = 0 $, ma $ S(x) + 1 = 0 $...

[cooper1]

ovviamente le soluzioni corrette, a meno di altri errori di conto, sono: $x_12 = -1/2 +- sqrt5 /2$

[pilloeffe]

... delle quali solo $x_1 = frac{sqrt{5} - 1}{2} \in (0, 1) \sub I = (-1, 1) $.

[cooper1]

ecco no questo invece purtroppo non mi aveva nemmeno sfiorato la mente. mi ero completamente dimenticato di intersecare le soluzioni con l'insieme di convergenza.
grazie mille per le correzioni.