[Ex] Serie di Potenze

[Noisemaker]

Siano $R_1,R_2\in \RR^+$ rispettivamente, i raggi di convergenza delle serie:
\begin{align}
\sum_{n=0}^\infty a_n x^n,\qquad\sum_{n=0}^\infty b_n x^n.
\end{align}
Dimostrare che il raggio di convergenza $R $ della serie
\begin{align}
\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{b_n} x^n,\qquad b_n\ne0,
\end{align}
soddisfa
\begin{align}
R\le\frac{R_1}{R_2}.
\end{align}

[Noisemaker]

in spoiler la mia soluzione; spero funzioni!

Per il teorema di Cauchy-Hadamard abbiamo che:
\begin{align}
\limsup_n \sqrt[n]{a_n}=R_1,\qquad \limsup_n \sqrt[n]{b_n}=R_2,
\end{align}
e dunque le due serie risulteranno assolutamente convergenti per
\begin{align}
|x|<1/R_1,\qquad |x| <1/R_2;
\end{align}
allora per le note proprietà del limsup avremo che
\begin{align}
\left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}>\frac{1}{R_1}-\varepsilon,&\qquad\mbox{per infiniti opportuni $n\in\mathbb{N}$}\\
\left|b_n\right|^{\frac{1}{n}}<\frac{1}{R_1}+\varepsilon,&\qquad\mbox{per $n\in\mathbb{N}$ abbastanza grande,}
\end{align}
e quindi per infiniti ed opportuni $n\in\N$ avremo che:
\begin{align}
\left| \frac{a_n}{b_n}\right|^{\frac{1}{n}}>\frac{1/R_1 -\varepsilon}{1/R_2 +\varepsilon}&=\frac{R_2-\varepsilon R_1R_2}{R_1+\varepsilon R_1R_2}=\frac{R_2 }{R_1}\cdot\frac{1-\varepsilon R_1 }{1+\varepsilon R_2}=\frac{R_2 }{R_1}\cdot\frac{1+{\color{blue}\varepsilon R_2}-\varepsilon R_1 -{\color{blue}\varepsilon R_2 }}{1+\varepsilon R_2}\\
&=\frac{R_2 }{R_1}\left(1-\varepsilon \cdot\frac{R_1+ R_2} {1+\varepsilon R_2}\right)=\frac{R_2 }{R_1} -\underbrace{\varepsilon\cdot\frac{R_2 }{R_1}\cdot \frac{R_1+ R_2} {1+\varepsilon R_2 }}_{ \displaystyle=\varepsilon'},
\end{align}
ed essendo $$\displaystyle\varepsilon\cdot\frac{R_2 }{R_1}\cdot \frac{R_1+ R_2} {1+\varepsilon R_2 }$$ un numero reale positivo arbitrario, al pari di $\varepsilon,$ segue che
\begin{align}
\limsup_n \left| \frac{a_n}{b_n}\right|^{\frac{1}{n}}&\ge \frac{R_2 }{R_1} ,
\end{align}
ossia
\begin{align}
R\le\frac{R_1}{R_2}.
\end{align}

[Rigel1]

"Noisemaker":Per il teorema di Cauchy-Hadamard abbiamo che:
\begin{align}
\limsup_n \sqrt[n]{a_n}=R_1,\qquad \limsup_n \sqrt[n]{b_n}=R_2,
\end{align}

Qui c'è un misprint (come poi è chiaro dal resto dello svolgimento):
\begin{align}
\limsup_n \sqrt[n]{|a_n|}=1/R_1,\qquad \limsup_n \sqrt[n]{|b_n|}=1/R_2.
\end{align}

Direi che la dimostrazione va bene; nelle tue notazioni, un po' più rapidamente bastava osservare che, per ogni \(\epsilon > 0\), si ha
\[
\frac{\sqrt[n]{|a_n|}}{\sqrt[n]{|b_n|}}
\geq
\frac{\sqrt[n]{|a_n|}}{\epsilon + 1/R_2}
\qquad\text{definitivamente},
\]
da cui, passando al limsup,
\[
1/R = \limsup_n\frac{\sqrt[n]{|a_n|}}{\sqrt[n]{|b_n|}}
\geq
\frac{1/R_1}{\epsilon + 1/R_2}.
\]

[Noisemaker]

"Rigel":
Qui c'è un misprint (come poi è chiaro dal resto dello svolgimento):
\begin{align}
\limsup_n \sqrt[n]{|a_n|}=1/R_1,\qquad \limsup_n \sqrt[n]{|b_n|}=1/R_2.
\end{align}

...naturalmente!! ...