Ex serie di funzioni

[cappellaiomatto1]

salve a tutti ho dubbi a studiare studiare la convergenza di questa serie $ sum_(n = 1)^(+oo)(1-cos(1/sqrt(n)))*(ln|x|)^n$

la successione $f_n(x)$ non è definita per $x=0$,quindi studio la convergenza in $x in(-oo,0)uu(0,+oo)$

si vede subito che per $x=+-1$ la serie converge puntualmente

Per $n->+oo$ ho che $cos(1/sqrt(n)) ~~ 1-1/(2n)$
quindi studio
$ sum_(n = 1)^(+oo)((ln|x|)^n/n)$

la nuova successione $f_n(x)$ per $x>e$ equivalentemente per $x<-e$ diverge perchè $(ln|x|)^n$ diventa un $alpha^n$ con $alpha>1$ e la somma è divergente

se $1
analogamente per $1/e se $(ln|x|)^n=gamma^n$ con $gamma<1$ e questo accade per $-1/e la convergenza puntuale sarà quindi in $(-e,-1/e)uu(1/e,e)$

per la convergenza uniforme mi conviene fare la derivata o posso maggiorare la funzione in un altro modo? mi sembra un po' intricato,grazie a chiunque voglia darmi una mano

[poncelet]

Non conveniva ridursi ad una serie di potenze con una sostituzione?

[cappellaiomatto1]

ttzzzz non ci avevo pensato per niente,ok mi viene lo stesso risultato,almeno è stato istruttivo(sempre che non abbia sbagliato due volte)

se posso chiederti a proposito di serie di potenze è possibile risolvere una serie di questo tipo $ sum_(n = 1)^(+oo)arctan(n^x) /(x^(2n)) $

maggiorandola con $ sum_(n = 1)^(+oo)pi/2 /(x^(2n)) $ e risolverla come serie di potenze? nella domanda ci sarebbe anche la domanda se un raggio di convergenza puo' essere quadratico o piu,ad esempio
$ sum_(n = 1)^(+oo)a(n)(x-x_0)^(-2n) $ ....