[EX] Serie di Fourier
Ciao!
Dovrei trovare la serie di Fourier di periodo $T=2pi$ che assume i valori $f(x)=x+cosx$ in $(-pi,pi]$, ma ho qualche problema..
Per trovare i coefficienti relativi al coseno, ho usato la formula:
$2/Tint_{-pi}^{pi} f(t)cos(2kpit/T)$ ottenendo come risultato $a_k=-(2ksin(pik))/(k^2-1)$ (confermata da wolfram).
Ora, escludendo i casi $k=0, k=1, k=-1$ che saran da trattare a parte, mi verrebbe da dire che $a_k=0\ \AAk in NN$, dato che il seno si annulla sui multipli interi di $pi$. Tuttavia Wolfram mi dice di no.. (http://www.wolframalpha.com/input/?i=fo ... f+x%2Bcosx)
Dove sbaglio?
Dovrei trovare la serie di Fourier di periodo $T=2pi$ che assume i valori $f(x)=x+cosx$ in $(-pi,pi]$, ma ho qualche problema..
Per trovare i coefficienti relativi al coseno, ho usato la formula:
$2/Tint_{-pi}^{pi} f(t)cos(2kpit/T)$ ottenendo come risultato $a_k=-(2ksin(pik))/(k^2-1)$ (confermata da wolfram).
Ora, escludendo i casi $k=0, k=1, k=-1$ che saran da trattare a parte, mi verrebbe da dire che $a_k=0\ \AAk in NN$, dato che il seno si annulla sui multipli interi di $pi$. Tuttavia Wolfram mi dice di no.. (http://www.wolframalpha.com/input/?i=fo ... f+x%2Bcosx)
Dove sbaglio?
Risposte
Dal momento che $2k\pi x/T=kx$, per ogni $k\ge 0,\ k\in NN$ (da dove salta fuori $k=-1$? Adesso si prendono anche gli interi negativi per la serie di Fourier reale?) è ovvio che l'unico termini dello sviluppo di $\cos x$ sarà proprio $\cos x$.
Ma adesso devi trovare i coefficienti dello sviluppo di $x$, non ti pare?
Ma adesso devi trovare i coefficienti dello sviluppo di $x$, non ti pare?
Sì $k=-1$ non centra.. Ma lo sviluppo di $x$ l'ho già fatto, con
$2/Tint_{-pi}^{pi} f(t)cos(2kpit/T)$ intendo $2/Tint_{-pi}^{pi} (t+cost)cos(2kpit/T)$ e il risultato è $-(2ksin(pik))/(k^2-1)$
$2/Tint_{-pi}^{pi} f(t)cos(2kpit/T)$ intendo $2/Tint_{-pi}^{pi} (t+cost)cos(2kpit/T)$ e il risultato è $-(2ksin(pik))/(k^2-1)$
Allora, abbiamo appurato che lo sviluppo del coseno coincide con la funzione stessa. Ora, considera la sola funzione $x$: essa è dispari su $[-\pi,\pi]$ e pertanto $x\cos(kx)$ è dispari, mentre $x\sin(kx)$ è pari. Ora, dovresti sapere che se $g(x)$ è dispari, allora
$$\int_{-a}^a g(x)\ dx=0$$
mentre se $g(x)$ è pari, allora
$$\int_{-a}^a g(x)\ dx=2\int_0^a g(x)\ dx$$
Pertanto, tutti i coefficienti $a_k=0$ e ti resta da determinare
$$b_k=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi t\sin(kt)\ dt=\frac{2}{\pi}\left(\left[-\frac{t}{k}\cos(kt)\right]_0^\pi+\frac{1}{k}\int_0^\pi\cos(kt)\ dt\right)=\\ \frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi\cos(k\pi)}{k}\right)$$
in quanto l'integrale rimasto fa zero. Osservando poi che $\cos(k\pi)=(-1)^k$ si ha
$$b_k=(-1)^{k+1}\cdot\frac{2}{k}$$
e pertanto lo sviluppo di Fourier
$$f(x)=\cos x+\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac{2}{k}\sin(kx)$$
$$\int_{-a}^a g(x)\ dx=0$$
mentre se $g(x)$ è pari, allora
$$\int_{-a}^a g(x)\ dx=2\int_0^a g(x)\ dx$$
Pertanto, tutti i coefficienti $a_k=0$ e ti resta da determinare
$$b_k=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi t\sin(kt)\ dt=\frac{2}{\pi}\left(\left[-\frac{t}{k}\cos(kt)\right]_0^\pi+\frac{1}{k}\int_0^\pi\cos(kt)\ dt\right)=\\ \frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi\cos(k\pi)}{k}\right)$$
in quanto l'integrale rimasto fa zero. Osservando poi che $\cos(k\pi)=(-1)^k$ si ha
$$b_k=(-1)^{k+1}\cdot\frac{2}{k}$$
e pertanto lo sviluppo di Fourier
$$f(x)=\cos x+\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac{2}{k}\sin(kx)$$
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