[Ex] - Serie
Mi stavo gingillando un po' con il seguente esercizio, ed ho provato a risolverlo:
Sia \(\displaystyle \varphi:[0,+\infty) \to [0,+\infty) \) una funzione non negativa tale che:
a) \(\displaystyle \varphi(0)=0 \);
b) \(\displaystyle \varphi \) è strettamente crescente;
c) \(\displaystyle \varphi \) è continua.
Provare che per ogni successione \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) vale l'implicazione \[\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \varphi(|a_{n}|) < \infty \quad \Rightarrow \quad \sum_{n=1}^{\infty} \varphi(|a_{n}|^2) < \infty \]
Sulla necessità: se \[\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \varphi(|a_{n}|) < \infty \]dev'essere allora \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \varphi(|a_{n}|)=0 \]Questo mi permette di dedurre che dev'essere necessariamente \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} |a_{n}|=0 \] perché \(\displaystyle \varphi \) è strettamente crescente e \(\displaystyle \varphi(0)=0 \).
Dalla definizione di limite evinco che esiste \(\displaystyle m \in \mathbb{N} \) t.c. \(\displaystyle |a_{n}|<\frac{1}{3} \quad \forall \; n > m \); pertanto è definitivamente \(\displaystyle 0<|a_{n}|^{2} < |a_{n}| \), da cui \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} |a_{n}|^2 =0 \) per il teorema del confronto. Per la continuità di \(\displaystyle \varphi \), ricordando la caratterizzazione sequenziale dei limiti, vale \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \varphi(|a_{n}|^2)=0 \]e così guadagno la condizione necessaria alla convergenza di \[\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \varphi(|a_{n}|^2) \]
Siccome poi, come si è detto, è \(\displaystyle 0<|a_{n}|^2 < |a_{n}| \) definitivamente, vale altresì \(\displaystyle \varphi(|a_{n}|^2)<\varphi(|a_{n}|) \) definitivamente, quindi si può pervenire alla tesi mediante il criterio del confronto per serie a termini positivi.
Vi torna?
Sia \(\displaystyle \varphi:[0,+\infty) \to [0,+\infty) \) una funzione non negativa tale che:
a) \(\displaystyle \varphi(0)=0 \);
b) \(\displaystyle \varphi \) è strettamente crescente;
c) \(\displaystyle \varphi \) è continua.
Provare che per ogni successione \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) vale l'implicazione \[\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \varphi(|a_{n}|) < \infty \quad \Rightarrow \quad \sum_{n=1}^{\infty} \varphi(|a_{n}|^2) < \infty \]
Sulla necessità: se \[\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \varphi(|a_{n}|) < \infty \]dev'essere allora \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \varphi(|a_{n}|)=0 \]Questo mi permette di dedurre che dev'essere necessariamente \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} |a_{n}|=0 \] perché \(\displaystyle \varphi \) è strettamente crescente e \(\displaystyle \varphi(0)=0 \).
Dalla definizione di limite evinco che esiste \(\displaystyle m \in \mathbb{N} \) t.c. \(\displaystyle |a_{n}|<\frac{1}{3} \quad \forall \; n > m \); pertanto è definitivamente \(\displaystyle 0<|a_{n}|^{2} < |a_{n}| \), da cui \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} |a_{n}|^2 =0 \) per il teorema del confronto. Per la continuità di \(\displaystyle \varphi \), ricordando la caratterizzazione sequenziale dei limiti, vale \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \varphi(|a_{n}|^2)=0 \]e così guadagno la condizione necessaria alla convergenza di \[\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \varphi(|a_{n}|^2) \]
Siccome poi, come si è detto, è \(\displaystyle 0<|a_{n}|^2 < |a_{n}| \) definitivamente, vale altresì \(\displaystyle \varphi(|a_{n}|^2)<\varphi(|a_{n}|) \) definitivamente, quindi si può pervenire alla tesi mediante il criterio del confronto per serie a termini positivi.
Vi torna?
Risposte
Si, torna... Ma perchè? Se n'era andata? 
"Paolo90":
[...] esiste \(\displaystyle m \in \mathbb{N} \) t.c. \(\displaystyle |a_{n}|<\frac{1}{3} \quad \forall \; n > m \) [...]
Ma perché proprio $1/3$? Non bastava $1$?
Dato che in questo thread non c'è \(2\) senza \(\frac{1}{3}\): ma dov'è il tuo dubbio?
"j18eos":
Dato che in questo thread non c'è \(2\) senza \(\frac{1}{3}\): ma dov'è il tuo dubbio?
Il mio dubbio stava nella comprensione del testo. Viene detto: "Provare che per ogni successione \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) vale la seguente implicazione [...]". Tuttavia, fissata \(\displaystyle \varphi \) con le date caratteristiche, non tutte le successioni soddisfano a \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \varphi(|a_{n}|)< \infty \); lo fanno soltanto quelle t.c. \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}|a_{n}|=0 \).
Mi chiedevo se non fosse necessaria una riformulazione del testo, come segue:
"Provare che per ogni successione \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) tale che \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \varphi(|a_{n}|)< \infty \) si ha bla bla bla..."
Poi comunque manca ancora un pezzo di esercizio.
@gugo&Paolo:
"Delirium":
Tuttavia, fissata \(\displaystyle \varphi \) con le date caratteristiche, non tutte le successioni soddisfano a \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \varphi(|a_{n}|)< \infty \); lo fanno soltanto quelle t.c. \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}|a_{n}|=0 \).
Questo é falso. Ma daltronde lo hai implocitamente detto nella dimostrazione parlando di necessità e sufficenza.
Pardon, DajeForte, ma non comprendo la natura della tua obiezione.
Oddio magari non vuoi intendere quello che ho capito che è: se an converge a 0 allora $sum_n phi(a_n)$ converge. Questo è falso.
@Delirium La fraseologia adottata non è formalmente corretta, la tua correzzione è giusta.
@Dajeforte Come ha spiegato Delirium, si deve ipotizzare anche che la prima serie converga e poi dimostrare che converge la seconda serie.
OUT OF SELF Questo esercizio mi ricorda gli spazi \(\ell^1\) ed \(\ell^2\)!
@Dajeforte Come ha spiegato Delirium, si deve ipotizzare anche che la prima serie converga e poi dimostrare che converge la seconda serie.
OUT OF SELF Questo esercizio mi ricorda gli spazi \(\ell^1\) ed \(\ell^2\)!
"Delirium":
Mi chiedevo se non fosse necessaria una riformulazione del testo, come segue:
"Provare che per ogni successione \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) tale che \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \varphi(|a_{n}|)< \infty \) si ha bla bla bla..."
E' esattamente ciò che dice l'esercizio (solo con parole un po' diverse), con
\[
\text{bla bla bla} := \sum_n \varphi(|a_n|^2) < +\infty.
\]
Ok, a posto (poi arriverò anche con la seconda parte dell'esercizio). Grazie a tutti
A questo punto sono curioso di vedere la seconda parte dell'esercizio...
Punto 2: determinare il sottoinsieme minimo delle ipotesi a), b) e c) su \(\displaystyle \varphi \ge 0 \) tale che sia vera l'implicazione di cui sopra.
Se volete provarci, ben volentieri. Io non ci ho ancora pensato bene, e quindi potrebbe anche trattarsi di una deduzione immediata e/o di qualcosa di semplice.
Se volete provarci, ben volentieri. Io non ci ho ancora pensato bene, e quindi potrebbe anche trattarsi di una deduzione immediata e/o di qualcosa di semplice.
Tralascio la questione sulla proposizione che prima ho quotato (anche se a me sembra falsa...).
Comunque un rilancetto per Delirium:
l'implicazione rimane vera se si sostituisce la stretta crescenza con la crescenza (diciamola non stretta), oppure
se si rimuove la continuità.
Comunque un rilancetto per Delirium:
l'implicazione rimane vera se si sostituisce la stretta crescenza con la crescenza (diciamola non stretta), oppure
se si rimuove la continuità.
Ahahaha ti giuro, ho scritto il messaggio senza leggere il tuo (anche se era scontato chiederselo) 
Dubito si possa caratterizzare la classe delle funzione \(\varphi\geq 0\) tali che valga l'implicazione data.
Ad esempio, per la funzione
\[
\varphi(t) := \begin{cases}
0, &\text{se}\ t\in\mathbb{Q},\\
1, &\text{se}\ t\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},
\end{cases}
\]
vale l'implicazione data.
Se invece si vogliono solo un po' "limare" le ipotesi date, sicuramente come già osservato basta che: a) \(\varphi(0) = 0\), b') la funzione sia crescente (non strettamente), con \(\varphi(t)>0\) per ogni \(t>0\), c') continua nell'origine (e non ovunque).
Ad esempio, per la funzione
\[
\varphi(t) := \begin{cases}
0, &\text{se}\ t\in\mathbb{Q},\\
1, &\text{se}\ t\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},
\end{cases}
\]
vale l'implicazione data.
Se invece si vogliono solo un po' "limare" le ipotesi date, sicuramente come già osservato basta che: a) \(\varphi(0) = 0\), b') la funzione sia crescente (non strettamente), con \(\varphi(t)>0\) per ogni \(t>0\), c') continua nell'origine (e non ovunque).
La stretta crescenza serve invece. Prendi una funzione che vale 0 fino ad 1.5 e poi crecsce prendi an vicino a 1.5 con quadrato che lo supera.
Per la continuità (sempre con la crescenza) non serve. Infatti la serie non quadrata converge la successione è definitivamente nulla.
Per la continuità (sempre con la crescenza) non serve. Infatti la serie non quadrata converge la successione è definitivamente nulla.
@dajeforte: stavo pensando a funzioni strettamente positive fuori dall'origine (ho corretto il mio post).
"Delirium":
Punto 2: determinare il sottoinsieme minimo delle ipotesi a), b) e c) su \(\displaystyle \varphi \ge 0 \) tale che sia vera l'implicazione di cui sopra.
Potresti vedere quali tra i casi:
nessuno
a
b
c
ab
ac
bc
abc
di ipotesi soddisfa l'implicazione.
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