[EX] - Serie
La serie da studiare è
\[\sum \dfrac{1+n!}{(1+n)!}x^n\]
al variare di $x\in RR$.
Noto che
\[\forall x \ne 0 \qquad \dfrac{1+n!}{(1+n)!}x^n\sim \dfrac{n!}{(1+n)!}x^n=\dfrac{1}{1+n}x^n\sim \dfrac{x^n}{n}\tag{A}\]
Verifico quindi l'assoluta convergenza; si ha
\[\sqrt[n]{\dfrac{|x|^n}{ n}}\to |x|\]
quindi la serie converge assolutamente per $|x|<1$. Per $x=1$ ho la serie armonica, che diverge. Per $x=-1$ non posso utilizzare la $("A")$, però noto che
\[\dfrac{1+n!}{(1+n)!}\]
è infinitesima e decrescente: Leibnitz mi soccorre. Se $x>1$ si deduce da $("A")$ che il termine generale diverge, e lo stesso fa la serie. Se $x<-1$ la serie diventa
\[\sum (-1)^n\underbrace{\dfrac{1+n!}{(1+n)!}|x|^n}_{=: a_n}\]
ed è irregolare dal momento che $a_n$ è monotona.
Ci sono vie migliori che potrei seguire?
\[\sum \dfrac{1+n!}{(1+n)!}x^n\]
al variare di $x\in RR$.
Noto che
\[\forall x \ne 0 \qquad \dfrac{1+n!}{(1+n)!}x^n\sim \dfrac{n!}{(1+n)!}x^n=\dfrac{1}{1+n}x^n\sim \dfrac{x^n}{n}\tag{A}\]
Verifico quindi l'assoluta convergenza; si ha
\[\sqrt[n]{\dfrac{|x|^n}{ n}}\to |x|\]
quindi la serie converge assolutamente per $|x|<1$. Per $x=1$ ho la serie armonica, che diverge. Per $x=-1$ non posso utilizzare la $("A")$, però noto che
\[\dfrac{1+n!}{(1+n)!}\]
è infinitesima e decrescente: Leibnitz mi soccorre. Se $x>1$ si deduce da $("A")$ che il termine generale diverge, e lo stesso fa la serie. Se $x<-1$ la serie diventa
\[\sum (-1)^n\underbrace{\dfrac{1+n!}{(1+n)!}|x|^n}_{=: a_n}\]
ed è irregolare dal momento che $a_n$ è monotona.
Ci sono vie migliori che potrei seguire?
Risposte
si è ok!
solo una nota : nel punto $(A)$ in realtà non sarebbe corretto procedere direttamente cosi, perche per poter applicare il confronto asintotico devi assicurarti che il termine generale della serie sia atermini positivi:
\[ \dfrac{1+n!}{(1+n)!}|x|^n\sim....\]
solo una nota : nel punto $(A)$ in realtà non sarebbe corretto procedere direttamente cosi, perche per poter applicare il confronto asintotico devi assicurarti che il termine generale della serie sia atermini positivi:
\[ \dfrac{1+n!}{(1+n)!}|x|^n\sim....\]
Non sono d'accordo Noise. Il simbolo ~ (scusa l'obbrobrio, ma il comando TeX non funziona) che ho usato sta a dire che
\[\lim_n\dfrac{\dfrac{1+n!}{(1+n)!}x^n }{x^n/n}\in \mathbb{R}^\ast\]
e questo è vero a prescindere da chi sia $x$ (vabé, purché $x\ne 0$).
Questa informazione poi l'ho usata quando potevo, cioè per studiare l'assoluta convergenza e per $x>1$; per $x\le -1$ non l'ho usato perché, appunto, la serie è a segno alterno e non posso usare tutta la sfilza di criteri che conosco
\[\lim_n\dfrac{\dfrac{1+n!}{(1+n)!}x^n }{x^n/n}\in \mathbb{R}^\ast\]
e questo è vero a prescindere da chi sia $x$ (vabé, purché $x\ne 0$).
Questa informazione poi l'ho usata quando potevo, cioè per studiare l'assoluta convergenza e per $x>1$; per $x\le -1$ non l'ho usato perché, appunto, la serie è a segno alterno e non posso usare tutta la sfilza di criteri che conosco
la mia era solo un osservazione relativa all utilizzo del confronto asintotico...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo