[EX] - Risoluzione eq. differenziale riconducibili alle var. separate

[Matt911]

Salve, sto risolvendo delle eq. differenziali , il problema è che non mi trovo con il risultato del libro...
L'equazione è la seguente :

$ y' = (2x+5y+1)/(x+y+2) $

Il problema è che mi trovo metà risultato, in quanto facendo i vari passaggi (e mi trovo con le sostituzioni di $xi$ ed $eta$), mi ritrovo col seguente risultato :
$ 1/2log(2+ 2z+z^2) = log(cxi)$
dove $xi = x+3$ e $z = (y-1)/(x+3)$.
Mentre il libro da come risultato oltre al $-1/2$ davanti al mio logaritmo , anche $ -1/2 sqrt(3/2)log((2+sqrt(6)-z)/(-2+sqrt(6)+z)) $
Perché? l'integrale è semplice e si risolve con l'integrazione immediata dando come risultato quel logaritmo, perché mi da anche questo secondo logaritmo?
Errore di calcoli durante la trasformazione di xi ed eta? E' strano perché è un fratto di primo grado (e niente di "casuale")...
Grazie in anticipo come sempre.

[Matt911]

UP!

[Quinzio]

Dunque, quello che fai tu è....

$ y' = (2x+5y+1)/(x+y+2) = (2(x+3)+5(y-1))/(x+3+(y-1)) = (2+5((y-1)/(x+3)))/(1+((y-1)/(x+3)))$

Quindi se $z=(y-1)/(x+3)$ allora $z'=(y'(x+3)+(y-1))/(x+3)^2$

e $y'=z'(x+3)-z$.

Riscriviamo tutto:

$=z'(x+3)-z = (2+5z)/(1+z)$

$z'(x+3) = (2+5z)/(1+z)+z$

$z'(x+3) = (2+6z+z^2)/(1+z)$

Procediamo a variabili separabili:

$z'(1+z)/ (2+6z+z^2)=1/(x+3)$

$z'[1/2 (6+2z)/ (2+6z+z^2)-2/(2+6z+z^2)]=1/(x+3)$

$z'[1/2 (6+2z)/ (2+6z+z^2)-2/((3+z)^2-7)]=1/(x+3)$

$z'{1/2 (6+2z)/ (2+6z+z^2)-[(1/\sqrt7)((1)/(z+3-\sqrt7)-(1)/(z+3+\sqrt7))]}=1/(x+3)$

ed eccoci pronti per il gran finale...

$1/2log(2+6z+z^2)-(1/\sqrt7)log((z+3-\sqrt7)/(z+3+\sqrt7))=log(x+3)+c$

quindi c'è anche quel secondo logaritmo che tu non trovavi....
però la soluzione è comunque diversa da quella del tuo libro... avrò fatto un errore da qualche parte....

[Quinzio]

Si in effetti l'errore è la nella terza riga del mio post, nella $z' =...$

ci pensi tu eh ?