[Ex] Riemann-integrabilità & Leb-integrabilità

[Seneca1]

Esercizio: Sia $f: [0,1] \rightarrow [0, oo)$ una funzione R-integrabile su ogni sottointervallo chiuso di $(0,1]$. Mostrare che $f$ è L-integrabile su $[0,1]$ se e solo se \[ \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\epsilon}^{1} f(x) dx \;\; \in \mathbb{R} \]
Svolgimento:
[size=85]Indico con \( \displaystyle \int_{[a,b]} \) l'integrale di Lebesgue e con $\int_a^b$ quello di Riemann.[/size]

Sia $\mu$ la misura di Lebesgue su $\mathbb{R}$. Supponiamo che valga \[ \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\epsilon}^{1} f(x) dx \;\; \in \mathbb{R} \]
$\forall \epsilon > 0$, $f$ è R-integrabile su $[\epsilon , 1]$ e quindi $f$ è ivi L-int; allora
\[ \mathbb{R} \ni \; \lim_{\epsilon \to 0}\; \int_{\epsilon}^{1} f(x) dx \; = \; \lim_{\epsilon \to 0} \;\int_{[ \epsilon , 1]} f \;d \mu \;\;\; (*) \]
Definisco \[ g_\epsilon = \begin{cases} f & \text{su } [\epsilon , 1] \\ 0 & \text{su } [0, \epsilon) \end{cases} \]
in particolare, per $\epsilon_n = \frac{1}{n}$ , $n \in NN$ , $g_{\epsilon_n}$ è una successione crescente di funzioni nonnegative e \[ \lim_{n \to \infty} g_{\epsilon_n} = f \ge 0 \]
Per il teorema della convergenza monotona:
\[ (*) \; \;\; = \lim_{n \to \infty} \;\int_{[0 , 1]} g_{\epsilon_n} \;d \mu \;=\; \int_{[0 , 1]} f \; d \mu \;\; \in \mathbb{R} \]
ovvero $f$ è L-int su $[0,1]$.

Viceversa: supponiamo che \[ \int_{[0,1]} f \; d\mu < \infty \]
Allora
\[ \int_{[0,1]} f \; d\mu = \underbrace{\int_{[0,\epsilon)} f \; d\mu}_{\ge 0} \;+ \; \int_{\epsilon}^1 f(x) dx \ge \int_{\epsilon}^1 f(x) dx\]
Poiché $\int_{\epsilon}^1 f(x) dx $ è una funzione monotona decrescente di $\epsilon$, esiste il limite per $\epsilon \to 0^+$; tale limite è finito in virtù della maggiorazione poc'anzi vista.

Secondo voi è corretto? Grazie in anticipo.

[Seneca1]

La prima parte mi sembra corretta (coincide con la soluzione che dà il libro). La seconda, invece?

[Paolo902]

Per quel che può valere la mia opinione, mi pare tutto corretto.
Esercizio carino!

[Seneca1]

Ti ringrazio Paolo. Aspettati nei prossimi giorni qualche esercizio con dedica.