[EX] - "Successione integrale"

[Sk_Anonymous]

Non sono certo circa lo svolgimento del seguente:

Sia \(\displaystyle k \in \mathcal{C}(\mathbb{R}) \), \(\displaystyle k \ge 0 \) e tale che \[\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty} k(x) \; dx=1 \]

i) Calcolare \(\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty} nk(nx) \; dx \);
ii) Mostrare che per ogni funzione \(\displaystyle f \in \mathcal{C}(\mathbb{R}) \), limitata su \(\displaystyle \mathbb{R} \) e assolutamente integrabile su \(\displaystyle \mathbb{R} \) si ha \[\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \int^{+\infty}_{-\infty} nk(nx)f(x) \; dx=f(0) \]

Svolgimento:
Punto (i):
Faccio un cambio di variabile, e pongo \(\displaystyle nx=t \); gli estremi di integrazione non cambiano e quindi si ha \[\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty} nk(nx) \; dx = \int^{+\infty}_{-\infty} k(t) \; dt =1 \]

Punto (ii):
Userei lo stesso "trucco" di cui sopra, ma la mia soluzione non usa un'ipotesi (assoluta integrabilità), quindi sospetto che sia sbagliata:
\[\displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty} nk(nx)f(x) \; dx= \int^{+\infty}_{-\infty} k(t)f(t/n) \; dt \]
Siccome \(\displaystyle f \) è continua \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} f(t/n)=f(0) \) e poiché è limitata \(\displaystyle f(0) \ne \infty \), quindi \[\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \int^{+\infty}_{-\infty} k(t)f(t/n) \; dt=f(0) \int^{+\infty}_{-\infty} k(t) \; dt=f(0) \]

Cosa ne dite?

Ringrazio.

[Rigel1]

Devi dimostrare di poter fare l'ultimo passaggio al limite sotto al segno di integrale; in effetti questo si può fare (usando il teorema di convergenza dominata) supponendo solo la limitatezza di $f$, senza necessità di usare l'assoluta integrabilità.

[Paolo902]

Sulla prima parte, nulla da ridire. La seconda invece è sbagliata: chi ti garantisce che puoi portare impunemente il limite sotto il segno di integrale? E' questa una di quelle questioni ricorrenti, la troverai un sacco di volte nei tuoi studi...

Guarda, io farei così: fissiamo per prima cosa un $\varepsilon >0$. Grazie alla continuità di $f$ in $x=0$ esiste un $\delta>0$ tale che se $|x| \[
a_n := \left \vert\int^{+\infty}_{-\infty} nk(nx)f(x) \; dx - f(0) \right\vert
\]
con l'obiettivo di far vedere che è (arbitrariamente) piccola per $n$ abbastanza grande. Sfruttiamo la prima parte dell'esercizio e scriviamo
\[
\begin{split}
&\left \vert\int^{+\infty}_{-\infty} nk(nx)f(x) \; dx - f(0) \right\vert = \\
& \left \vert\int^{+\infty}_{-\infty} nk(nx)f(x) \; dx - f(0)\int_{-\infty}^{\infty}nk(nx) dx \right\vert = \\
& \left \vert\int^{+\infty}_{-\infty} nk(nx)[f(x) - f(0)] dx \right\vert \le \\
& \int^{+\infty}_{-\infty} nk(nx) \vert f(x) - f(0) \vert dx
\end{split}
\]
dove l'ultima disuguaglianza è giustificata dal fatto che [tex]\left \vert \int f \right\vert \le \int \vert f \vert[/tex] e dalla positività di $k$.
Ora per l'additività possiamo scrivere
\[
\int^{+\infty}_{-\infty} nk(nx) \vert f(x) - f(0) \vert dx = \int_{|x|<\delta} nk(nx) \vert f(x) - f(0) \vert dx + \int_{|x|\ge \delta} nk(nx) \vert f(x) - f(0) \vert dx
\]

Il primo addendo è semplicissimo da stimare e lo lascio a te (come regalo di compleanno... AUGURI!)
Per il secondo, invece, c'è da lavorare un pochino: anzitutto si va di disuguaglianza triangolare e si ha
\[
\begin{split}
& \int_{|x|\ge \delta} nk(nx) \vert f(x) - f(0) \vert dx \le \int_{|x|\ge \delta} nk(nx) \left[ \vert f(x)\vert + \vert f(0) \right] \vert dx \le \\
& \le \int_{|x|\ge \delta} nk(nx) 2 \Vert f \Vert_{\infty} dx
\end{split}
\]
usando il fatto che $f$ è limitata (e quindi [tex]\Vert f \Vert < \infty[/tex]). Ora si cambia variabile e si conclude osservando che
\[
2 \Vert f \Vert_{\infty} \int_{|y|\ge n\delta} k(y) dy
\]
va a zero quando $n \to \infty$ (perché? L'integrale su $\RR$ di $k$ è 1, usa di nuovo l'additività)...

In sostanza, abbiamo provato che
\[
0 \le \limsup_{n} a_n \le \varepsilon .
\]
D'altra parte la successione $a_n$ è positiva e quindi possiamo concludere che
\[
\lim_{n} \left \vert\int^{+\infty}_{-\infty} nk(nx)f(x) \; dx - f(0) \right\vert =0
\]
che è quanto volevamo. Spero di non aver preso abbagli, vedi un po' se riesci a completare i dettagli. Se hai bisogno fai un fischio

EDIT: Rigel, scusami non avevo visto il tuo intervento.

[Sk_Anonymous]

"Rigel":Devi dimostrare di poter fare l'ultimo passaggio al limite sotto al segno di integrale; in effetti questo si può fare (usando il teorema di convergenza dominata) supponendo solo la limitatezza di $f$, senza necessità di usare l'assoluta integrabilità.

Eccerto, ci casco sempre. Quel teorema non l'abbiamo ancora visto, quindi immagino che si debba lavorare per esempio con l'uniforme continuità (ma non sono sicuro nemmeno di questo fatto... Sicuramente \(\displaystyle f \) è uniformemente continua su \(\displaystyle [-r,r] \ \forall r>0 \), ma lo è su \(\displaystyle ]-\infty,+\infty[ \) ?). E mi è venuto in mente un esercizio simile in cui avevo fatto il medesimo errore.

Per riparare alla castronata scritta/detta potrei tentare di stimare dall'alto la differenza \[\displaystyle \left| \int^{+\infty}_{-\infty} nk(nx)f(x) \; dx - f(0) \right| \]
notando che \[\displaystyle f(0)=f(0)\int^{+\infty}_{-\infty} nk(nx) \; dx \]
Quindi \[\displaystyle \left| \int^{+\infty}_{-\infty} nk(nx)f(x) \; dx - f(0) \right|= \left| \int^{+\infty}_{-\infty} nk(nx)f(x) \; dx - \int^{+\infty}_{-\infty} nk(nx) f(0) \; dx \right|=\] \[\displaystyle =\left| \int^{+\infty}_{-\infty} nk(nx)(f(x)-f(0)) \; dx \right| \le \int^{+\infty}_{-\infty} nk(nx)|f(x)-f(0)| \; dx \le \] \[\displaystyle \le \int^{+\infty}_{-\infty} nk(nx) \epsilon \; dx=\epsilon \]

Dopodiché in qualche modo dovrei riuscire a concludere (a patto che sia valida la premessa), credo...

EDIT: grazie Paolo! Stavo componendo (e pensando) mentre hai risposto!