[EX] - Ordine di infinitesimo

[Plepp]

Salve ragazzi, sto provando a dimostrare questa Proposizione (ché la dimostrazione non sono riuscito a copiarla a lezione ):

Proposizione. Siano $f,g: X\subseteq RR\to RR$ infinitesime in $x_0\in\text{Dr}(X)$ e siano $\alpha,\beta>0$ numeri reali. Supponiamo che $f\sim |g|^\alpha$ e $f\sim |g|^\beta$ per $x\to x_0$. Allora $\alpha=\beta$.

Ok. Per ipotesi si ha
\[\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{|g(x)|^\alpha}=l\in \mathbb{R}^\ast\qquad \lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{|g(x)|^\beta}=m\in \mathbb{R}^\ast\]
Per assurdo suppongo, per semplicità, $\alpha>\beta$. Ottengo
\[\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{|g(x)|^\beta}=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{|g(x)|^\beta}\cdot \dfrac{|g(x)|^{\alpha-\beta}}{|g(x)|^{\alpha-\beta}}=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{|g(x)|^\alpha}|g(x)|^{\alpha-\beta}=l\cdot 0=0\]
contraddicendo l'unicità del limite. Che dite?

Grazie in anticipo

[gugo82]

Direi che va bene... Però c'è qualcosa che non mi quadra.
Nello specifico: mica sai che \(g(x)\neq 0\) definitivamente intorno a \(x_0\)? E perciò mica puoi dividere per \(|g|\) con tanta facilità?

Quindi o c'è un'ipotesi nascosta, oppure devi usare bene il simbolo \(\sim\).

[Plepp]

Ciao Gugo. In base alle definizioni che ho, $f\sim g$ in $x_0$ vuol dire che $f$ e $g$ sono infinitesime dello stesso ordine in $x_0$, ovvero che il limite in $x_0$ del loro rapporto è finito e non nullo. Quindi è chiaro che $g(x)$ è definitivamente non nulla vicino a $x_0$, altrimenti non avrebbe senso considerare $f(x)/g(x)$.

Grazie