[EX] - Mostro definito per ricorrenza

[Plepp]

Sarà la stanchezza, ma sono 20 minuti che combatto con questa roba senza venirne a capo:
\[
\begin{cases}
a_0:=1\\
a_{n+1}:=\dfrac{1-a_n}{2}
\end{cases}
\]
Devo calcolarne il limite. Più che dire che $0\le a_n\le 1$ e che
\[a_n=\dfrac{b_n}{2^n}\]
con
\[\begin{cases}
b_0:=0\\
b_1:=1\\
b_{n+2}:=b_{n+1}+2b_n
\end{cases}\]
non sono riuscito a fare. Qualche idea?

EDIT: in sostanza, il problema si riduce a dimostrare l'esistenza del limite (che, a occhio, esiste ed è $1/3$), ma non mi viene in mente una strategia valida per farlo.

[Rigel1]

Puoi provare a dimostrare che la sottosuccessione \((a_{2n})\) è monotona decrescente mentre \((a_{2n+1})\) è monotona crescente (per poi dimostrare che convergono allo stesso limite).

[Plepp]

Ci ho pensato Rigel (ché l'ho notato elencando qualche termine), ma...come?

[Maci86]

Se ci fosse un limite avresti:
$L=(1-L)/2->L=1/3$
Tutto sta nel capire se ci puoi arrivare

[Plepp]

"Maci86":Se ci fosse un limite avresti:
$L=(1-L)/2->L=1/3$
Tutto sta nel capire se ci puoi arrivare

Esatto

[Rigel1]

Nota che \(a_{n+2} = \frac{1+a_n}{4}\), e che \(\frac{1+t}{4} > t\) se e solo se \(t < 1/3\).
Considera dunque cosa succede partendo da \(a_0 = 1\) (che genera in questo modo la sottosuccessione \((a_{2n})\)) e partendo da \(a_1 = 0\) (che genera in questo modo la sottosuccessione \((a_{2n+1})\)).

[Maci86]

$1/2->1/4->3/8->5/16->11/32->21/64->...->(2^n - 2^(n-1)+2^(n-2)-...)/(2^(n+1))$
Che poi è anche la serie:
$sum_(i=1)^oo (-1)^(i+1)/2^i$

[Plepp]

Grazie mille ragazzi!

[Sk_Anonymous]

Il limite si può calcolare anche per via diretta, determinando la formula esatta per $a_n$
La relazione data è :
(1) $2a_{n+1}+a_n=1$
La relazione omogenea associata è allora :
( 2) $2a_{n+1}+a_n=0$
Ricerchiamo una soluzione della ( 2) del tipo $a_n=\lambda^n $ e sostituendo si ha :
$2\lambda^{n+1}+\lambda^n=0$ da cui $\lambda=-1/2$
Una soluzione della (1) sarà allora del tipo :
(3) $ a_n= A(-1/2)^n+B$
con A,B costanti da determinare.
Per la condizione iniziale risulta
(a) $A+B=1$
Sostituendo la (3) nella (1) si trova che :
$2\cdotA(-1/2)^{n+1}+2B+A(-1/2)^n+B=1$
ovvero
(b) $B=1/3$ e quindi dalla (a): $A=2/3$
Pertanto la soluzione generale è :
$a_n=2/3 \cdot(-1/2)^n+1/3$
e da qui ne segue che: $\lim_{n->\infty} a_n =1/3$

[Sk_Anonymous]

@Plepp: dai un'occhiata alla tecnica usata qui... Secondo me ci si fa qualcosa.

[Maci86]

Ciro, che casino

Basta spezzare in pari e dispari la serie che ho scritto e hai la soluzione!

[Plepp]

"Maci86":Ciro, che casino

Basta spezzare in pari e dispari la serie che ho scritto e hai la soluzione!

...più che altro non so ancora un piffero di equazioni alle differenze Ringrazio comunque Ciromario

@Delirium: molto interessante! [size=85](ultimamente sto studicchiando qualcosa sulla successione di Fibonacci)[/size] Appena ho un minuto vedo di capire se è possibile fare un ragionamento simile per la successione in questione. Ti ringrazio.