[EX] - Limite seccante
Buongiorno 
Oggi ho perso una buona ventina di minuti davanti a questo limite, apparentemente mansueto:
\[\lim_{n}\underbrace{\dfrac{(\log n)^n}{n!}}_{=:a_n}\]
L'unico strumento che sembra funzionare è il criterio del rapporto; ometto qualche conto:
\[\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\log^n (n+1)}{\log^n n}\cdot\underbrace{\dfrac{\log(n+1)}{n}}_{\to 0}\tag{1}\]
Mi occupo del primo "pezzo":
\[\dfrac{\log^n (n+1)}{\log^n n}=\left[\dfrac{\cancel{\log n}\left(1+\frac{\log(1+\frac{1}{n})}{\log n}\right)}{\cancel{\log n}}\right]^n=\left(1+\frac{\log(1+\frac{1}{n})}{\log n}\right)^n=\left[\underbrace{\left(1+\frac{\log(1+\frac{1}{n})}{\log n}\right)^{\frac{\log n}{\log(1+\frac{1}{n})}}}_{\to e}\right]^{\frac{\log(1+\frac{1}{n})}{\log n}\cdot n}\]
L'ultimo esponente va $0$:
\[\frac{\log(1+\frac{1}{n})}{\log n}\cdot n=\frac{\log\big((1+\frac{1}{n})^n\big)}{\log n}\to\left[\frac{\log e}{+\infty}\right]=0\]
Quindi, in definitiva, la prima frazione in $(1)$ tende a $e^0=1$, e di conseguenza il tutto tende a $1\cdot 0 =0$. Il criterio del rapporto mi garantisce allora, essendo $0<1$, che $a_n$ è infinitesima.
Con il risultato mi trovo (potrei eventualmente aver fatto qualche passaggio poco lecito senza accorgermene: in tal caso segnalatemelo, please ), ma mi chiedo se ci sia una strada più efficace, che comporti meno calcoli 
Ad esempio, avevo pensato - ma ho lasciato perdere 
la voglia di fare conti scarseggia parecchio stamane - di applicare De l'Hopital a
\[\dfrac{\log^x x}{\Gamma(x+1)}\]
Oggi ho perso una buona ventina di minuti davanti a questo limite, apparentemente mansueto:
\[\lim_{n}\underbrace{\dfrac{(\log n)^n}{n!}}_{=:a_n}\]
L'unico strumento che sembra funzionare è il criterio del rapporto; ometto qualche conto:
\[\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\log^n (n+1)}{\log^n n}\cdot\underbrace{\dfrac{\log(n+1)}{n}}_{\to 0}\tag{1}\]
Mi occupo del primo "pezzo":
\[\dfrac{\log^n (n+1)}{\log^n n}=\left[\dfrac{\cancel{\log n}\left(1+\frac{\log(1+\frac{1}{n})}{\log n}\right)}{\cancel{\log n}}\right]^n=\left(1+\frac{\log(1+\frac{1}{n})}{\log n}\right)^n=\left[\underbrace{\left(1+\frac{\log(1+\frac{1}{n})}{\log n}\right)^{\frac{\log n}{\log(1+\frac{1}{n})}}}_{\to e}\right]^{\frac{\log(1+\frac{1}{n})}{\log n}\cdot n}\]
L'ultimo esponente va $0$:
\[\frac{\log(1+\frac{1}{n})}{\log n}\cdot n=\frac{\log\big((1+\frac{1}{n})^n\big)}{\log n}\to\left[\frac{\log e}{+\infty}\right]=0\]
Quindi, in definitiva, la prima frazione in $(1)$ tende a $e^0=1$, e di conseguenza il tutto tende a $1\cdot 0 =0$. Il criterio del rapporto mi garantisce allora, essendo $0<1$, che $a_n$ è infinitesima.
Con il risultato mi trovo (potrei eventualmente aver fatto qualche passaggio poco lecito senza accorgermene: in tal caso segnalatemelo, please
), ma mi chiedo se ci sia una strada più efficace, che comporti meno calcoli Ad esempio, avevo pensato - ma ho lasciato perdere la voglia di fare conti scarseggia parecchio stamane - di applicare De l'Hopital a\[\dfrac{\log^x x}{\Gamma(x+1)}\]
Risposte
Edit...cancello.
Mmh no...$\root[n]{n!}$ diverge (lo noti utilizzando il secondo di Cesaro).
Certo che ne hanno di fantasia...il nuovo limite è
\[\lim_{n\to \infty}\underbrace{\dfrac{(1+e^n)(\alpha n)!}{n!}}_{=: b_n^\alpha}\]
con $\alpha\in NN$ parametro.
Io toglierei di mezzo subito i casi ovvi: si ha $b_n^0\to 0$ e $b_n^1\to +\infty$. Noto innanzitutto che quel $(1+e^n)$ conta "come il due di coppe", dal momento che $((\alpha n)!)/{n!}$ di certo non è infinitesimo. Procedo quindi per confronto. Ho che - ricordo che ora prendo $\alpha\ge 2$ -
\[\dfrac{(\alpha n)!}{n!}\stackrel{\text{monotonia di} k!}{\ge} \dfrac{(2n)!}{n!}\stackrel{\text{per induzione} }{\ge} 2\cdot n!\to +\infty\]
Quindi per $\alpha\ge 2$, $b_n^\alpha$ diverge.
Strade più economiche da suggerirmi?
\[\lim_{n\to \infty}\underbrace{\dfrac{(1+e^n)(\alpha n)!}{n!}}_{=: b_n^\alpha}\]
con $\alpha\in NN$ parametro.
Io toglierei di mezzo subito i casi ovvi: si ha $b_n^0\to 0$ e $b_n^1\to +\infty$. Noto innanzitutto che quel $(1+e^n)$ conta "come il due di coppe", dal momento che $((\alpha n)!)/{n!}$ di certo non è infinitesimo. Procedo quindi per confronto. Ho che - ricordo che ora prendo $\alpha\ge 2$ -
\[\dfrac{(\alpha n)!}{n!}\stackrel{\text{monotonia di} k!}{\ge} \dfrac{(2n)!}{n!}\stackrel{\text{per induzione} }{\ge} 2\cdot n!\to +\infty\]
Quindi per $\alpha\ge 2$, $b_n^\alpha$ diverge.
Strade più economiche da suggerirmi?
Calcolo alternativo del primo limite.
Sfrutto la disuguaglianza facilmente dimostrabile:
\( n!>\left( \frac{n}{4}\right)^{\frac{n}{2}}\)
\( \displaystyle \sqrt[n]{a_n}=\frac{\log n}{\sqrt[n]{n!}}<\frac{\log n}{\sqrt[n]{\left( \frac{n}{4}\right)^{\frac{n}{2}}}}=\frac{2\log n}{\sqrt{n}}\)
Poichè \(\displaystyle \lim \frac{2\log n}{\sqrt{n}}=0\) abbiamo per confronto
\( \displaystyle \lim \sqrt[n]{a_n}=0\) e quindi anche \( \displaystyle \lim a_n=0\)
Sfrutto la disuguaglianza facilmente dimostrabile:
\( n!>\left( \frac{n}{4}\right)^{\frac{n}{2}}\)
\( \displaystyle \sqrt[n]{a_n}=\frac{\log n}{\sqrt[n]{n!}}<\frac{\log n}{\sqrt[n]{\left( \frac{n}{4}\right)^{\frac{n}{2}}}}=\frac{2\log n}{\sqrt{n}}\)
Poichè \(\displaystyle \lim \frac{2\log n}{\sqrt{n}}=0\) abbiamo per confronto
\( \displaystyle \lim \sqrt[n]{a_n}=0\) e quindi anche \( \displaystyle \lim a_n=0\)
"totissimus":
Calcolo alternativo del primo limite.
Sfrutto la disuguaglianza facilmente dimostrabile:
\( n!>\left( \frac{n}{4}\right)^{\frac{n}{2}}\)
\( \displaystyle \sqrt[n]{a_n}=\frac{\log n}{\sqrt[n]{n!}}<\frac{\log n}{\sqrt[n]{\left( \frac{n}{4}\right)^{\frac{n}{2}}}}=\frac{2\log n}{\sqrt{n}}\)
Poichè \(\displaystyle \lim \frac{2\log n}{\sqrt{n}}=0\) abbiamo per confronto
\( \displaystyle \lim \sqrt[n]{a_n}=0\) e quindi anche \( \displaystyle \lim a_n=0\)
...che è molto meglio di come ho fatto io
ho provato a ragionare per confronto, ma non m'è venuta in mente una maggiorazione efficace (come questa). @Baldo: da quanto tempo!
Grazie, ma Stirling, pur conoscendolo, attualmente non ho idea di come si dimostri, e non mi piace utilizzare strumenti di cui non saprei provare la validità - è una stupidaggine, lo so, ma è più forte di me
"Plepp":
non mi piace utilizzare strumenti di cui non saprei provare la validità - è una stupidaggine, lo so, ma è più forte di me
condivido
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