[EX] - Limite integrale
Ho il seguente esercizio, ma ho delle perplessità intorno alle ipotesi. Nella fattispecie, siccome il testo proviene da una dispensa nella quale sono stati trovati parecchi errori, ho il timore che manchi qualcosa.
Sia \(\displaystyle f \in \mathcal{C}(\left[0,1 \right]) \). Calcolare \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt{n} \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{1+nx^{2}} \ dx \]
Ora, io dovrei essere riuscito a risolverlo, ma con l'aggiunta di una ipotesi: \(\displaystyle f \in \mathcal{C}^{1}(\left[0,1 \right] ) \).
La questione è: si può risolvere anche senza aggiungere l'ulteriore ipotesi oppure c'è davvero un refuso testuale?
EDIT: mancava il \(\displaystyle dx \).
Sia \(\displaystyle f \in \mathcal{C}(\left[0,1 \right]) \). Calcolare \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt{n} \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{1+nx^{2}} \ dx \]
Ora, io dovrei essere riuscito a risolverlo, ma con l'aggiunta di una ipotesi: \(\displaystyle f \in \mathcal{C}^{1}(\left[0,1 \right] ) \).
La questione è: si può risolvere anche senza aggiungere l'ulteriore ipotesi oppure c'è davvero un refuso testuale?
EDIT: mancava il \(\displaystyle dx \).
Risposte
Mi piacerebbe sapere come l'hai svolto.
Dunque, premetto che potrei scrivere pistolettate, non sono troppo sicuro del mio svolgimento. Ad ogni modo \[\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{n}f(x)}{1 + nx^{2}} \ dx = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{n}f(x)}{1+(\sqrt{n}x)^2} \ dx = \left[ \arctan(\sqrt{n}x)f(x) \right]^{1}_{0} - \int_{0}^{1} \arctan(\sqrt{n}x)f \; '(x) \ dx\]
e passando al limite entrambi i membri prima di integrare ho
\[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{n}f(x)}{1 + nx^{2}} \ dx = \frac{\pi}{2}f(1) - \frac{\pi}{2} \int_{0}^{1} f \; ' (x) \ dx=\frac{\pi}{2}f (0) \]
Quanti errori? Cosa ne pensi?
e passando al limite entrambi i membri prima di integrare ho
\[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{n}f(x)}{1 + nx^{2}} \ dx = \frac{\pi}{2}f(1) - \frac{\pi}{2} \int_{0}^{1} f \; ' (x) \ dx=\frac{\pi}{2}f (0) \]
Quanti errori? Cosa ne pensi?
Non hai giustificato adeguatamente il passaggio al limite sotto il segno di integrale. Infatti la successione di funzioni $g_n : [0,1] \to [0, + \infty)$
\[\displaystyle g_n(x) = \arctan(\sqrt{n} x ) f'(x) \]
non è uniformemente convergente in $[0,1]$ (se lo fosse, poiché $g_n \in C^0$, dovrebbe aversi che $g_n \to g$ continua, ciò che non si ha).
Tuttavia è uniformemente convergente in $[\epsilon, 1]$, con $\epsilon > 0$.
\[\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \int_\epsilon^1 g_n(x) dx = \lim_{n \to +\infty} \int_\epsilon^1 \arctan(\sqrt{n} x ) f'(x) dx \]
\[\displaystyle = \int_\epsilon^1 \lim_{n \to +\infty} \arctan(\sqrt{n} x ) f'(x) dx =\int_\epsilon^1 \frac{\pi}{2} \cdot f'(x) dx \]
\[\displaystyle = \frac{\pi}{2} [ f'(x) ]_\epsilon^1 = \frac{\pi}{2} f(1) - \frac{\pi}{2} f(\epsilon) \]
Ed ora forse si potrebbe passare al limite per $\epsilon \to 0^+$.
Qualcuno sa se è corretto quanto ho scritto?
\[\displaystyle g_n(x) = \arctan(\sqrt{n} x ) f'(x) \]
non è uniformemente convergente in $[0,1]$ (se lo fosse, poiché $g_n \in C^0$, dovrebbe aversi che $g_n \to g$ continua, ciò che non si ha).
Tuttavia è uniformemente convergente in $[\epsilon, 1]$, con $\epsilon > 0$.
\[\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \int_\epsilon^1 g_n(x) dx = \lim_{n \to +\infty} \int_\epsilon^1 \arctan(\sqrt{n} x ) f'(x) dx \]
\[\displaystyle = \int_\epsilon^1 \lim_{n \to +\infty} \arctan(\sqrt{n} x ) f'(x) dx =\int_\epsilon^1 \frac{\pi}{2} \cdot f'(x) dx \]
\[\displaystyle = \frac{\pi}{2} [ f'(x) ]_\epsilon^1 = \frac{\pi}{2} f(1) - \frac{\pi}{2} f(\epsilon) \]
Ed ora forse si potrebbe passare al limite per $\epsilon \to 0^+$.
Qualcuno sa se è corretto quanto ho scritto?
Il tuo risultato è corretto (modulo le osservazioni di seneca), e vale anche per funzioni continue.
La giustificazione "distribuzionale" dipende dal fatto che \(\frac{\sqrt{n}}{1+nx^2} \to \delta(0)\) per \(n\to +\infty\).
Una dimostrazione elementare può essere fatta così: poiché \(f\) è continua, fissato \(\epsilon>0\) esiste \(\delta>0\) tale che \(|f(x) - f(0)| < \epsilon\) per ogni \(x\in [0,\delta]\).
Di conseguenza
\[
\left|\int_0^{\delta} \frac{\sqrt{n}f(x)}{1+nx^2} dx - \int_0^{\delta} \frac{\sqrt{n}f(0)}{1+nx^2} dx\right|
< \int_0^{\delta} \frac{\sqrt{n}\epsilon}{1+nx^2} dx = \arctan(\sqrt{n}\delta)\epsilon < \frac{\pi}{2}\epsilon.
\]
D'altra parte, per convergenza uniforme,
\[
\int_{\delta}^1 \frac{\sqrt{n}f(x)}{1+nx^2} dx \to 0.
\]
Inoltre
\[
\int_0^{\delta} \frac{\sqrt{n}f(0)}{1+nx^2} dx = f(0) \arctan(\sqrt{n}\delta) \to \frac{\pi}{2} f(0).
\]
Tutto ciò dovrebbe bastare per concludere.
La giustificazione "distribuzionale" dipende dal fatto che \(\frac{\sqrt{n}}{1+nx^2} \to \delta(0)\) per \(n\to +\infty\).
Una dimostrazione elementare può essere fatta così: poiché \(f\) è continua, fissato \(\epsilon>0\) esiste \(\delta>0\) tale che \(|f(x) - f(0)| < \epsilon\) per ogni \(x\in [0,\delta]\).
Di conseguenza
\[
\left|\int_0^{\delta} \frac{\sqrt{n}f(x)}{1+nx^2} dx - \int_0^{\delta} \frac{\sqrt{n}f(0)}{1+nx^2} dx\right|
< \int_0^{\delta} \frac{\sqrt{n}\epsilon}{1+nx^2} dx = \arctan(\sqrt{n}\delta)\epsilon < \frac{\pi}{2}\epsilon.
\]
D'altra parte, per convergenza uniforme,
\[
\int_{\delta}^1 \frac{\sqrt{n}f(x)}{1+nx^2} dx \to 0.
\]
Inoltre
\[
\int_0^{\delta} \frac{\sqrt{n}f(0)}{1+nx^2} dx = f(0) \arctan(\sqrt{n}\delta) \to \frac{\pi}{2} f(0).
\]
Tutto ciò dovrebbe bastare per concludere.
Ciao Rigel.
Quindi pensi che l'idea che ho proposto funzioni?
Quindi pensi che l'idea che ho proposto funzioni?
C'è un errore alla fine: \(\int_{\epsilon}^1 f'(x) dx = f(1) - f(\epsilon)\) (e non \(f'\)).
Poi bisogna far vedere che \(\int_0^{\epsilon} \ldots \to 0\).
Poi bisogna far vedere che \(\int_0^{\epsilon} \ldots \to 0\).
Ah, sì, grazie. Per completezza, quindi, avendo supposto $f \in \mathcal{C}^1 [0,1]$, la funzione \(\displaystyle \arctan(\sqrt{n} x ) f'(x) \) è limitata in $[0,\epsilon] \subseteq [0,1]$. Dunque:
\[\displaystyle \left | \int_0^\epsilon \arctan(\sqrt{n} x ) f'(x) dx \right | \le \int_0^\epsilon C dx = C \epsilon \; \to 0 \;\; \text{per} \;\;\; \epsilon \to 0 \]
\[\displaystyle \left | \int_0^\epsilon \arctan(\sqrt{n} x ) f'(x) dx \right | \le \int_0^\epsilon C dx = C \epsilon \; \to 0 \;\; \text{per} \;\;\; \epsilon \to 0 \]
Ringrazio per tutte queste giustificazioni dei passaggi, anche se mi sono alla fin fine convinto che questo/i esercizi ci siano stati assegnati un po' a caso, giacché passaggi al limite sotto il segno d'integrale e convergenza uniforme di integrali sono "argomenti" non ancora da noi trattati. Me li studierò un po' per conto mio, ché credo siano previsti nel programma di Analisi II del prossimo anno.
"Rigel":
D'altra parte, per convergenza uniforme,
\[
\int_{\delta}^1 \frac{\sqrt{n}f(x)}{1+nx^2} dx \to 0.
\]
@delirium: se è questa convergenza uniforme a spaventarti si può calcolare questo limite "a mano".
Poiché \(f\) è continua in \([0,1]\), essa è anche limitata, diciamo \(|f(x|\leq M\) per ogni \(x\in [0,1]\); quindi
\[
\frac{\sqrt{n}|f(x)|}{1+nx^2} \leq \frac{M \sqrt{n}}{1+n\delta^2}\qquad \forall x\in [\delta, 1].
\]
Di conseguenza
\[
\left|\int_{\delta}^1 \frac{\sqrt{n}f(x)}{1+nx^2} dx\right| \leq \frac{M (1-\delta) \sqrt{n}}{1+n\delta^2} \to 0
\quad n\to +\infty.
\]
Perfetto, grazie Rigel. Ora mi guardo per bene tutto lo svolgimento.
\( \left|\int_{0}^{1}\frac{f\left(x\right)}{1+nx^{2}}dx\right|\leq\int_{0}^{1}\frac{\mbox{M}}{1+nx^{2}}dx=\frac{M}{\sqrt{n}}\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\)
\( \left|\sqrt{n}\int_{0}^{1}\frac{f\left(x\right)}{1+nx^{2}}dx\right|\leq\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\)
Quindi:
\( lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n}\int_{0}^{1}\frac{f\left(x\right)}{1+nx^{2}}dx=0\)
\( \left|\sqrt{n}\int_{0}^{1}\frac{f\left(x\right)}{1+nx^{2}}dx\right|\leq\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\)
Quindi:
\( lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n}\int_{0}^{1}\frac{f\left(x\right)}{1+nx^{2}}dx=0\)
"aizarg":
\( \leq\int_{0}^{1}\frac{\mbox{M}}{1+nx^{2}}dx=\frac{M}{\sqrt{n}}\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\)
Scusami, aizarg, ma qui non dovrebbe essere $M 1/sqrt(n) \arctan(\sqrt(n))$ ?
Chiedo scusa, avevo bevuto una birra !!
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