[Ex] Limite

[Noisemaker]

Ho delle difficoltà con questo limite:

$$\lim_{n\to\infty}\left[n-\left(\arccos\frac{1}{n}+\arccos\frac{2}{n}+\arccos\frac{3}{n}+\cdots+\arccos\frac{n}{n}\right)\right]$$

scritto in forma compatta diviene:
\begin{align}
\lim_{n\to\infty} n-\left(\sum_{k=1}^{n}\arccos\frac{k}{n}\right)= \lim_{n\to\infty} n-n\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\arccos\frac{k}{n}\right)= \lim_{n\to\infty} n-n\int_{0}^1\arccos x\,\,dx
\end{align}

ora 'integrale vale $1$ e quindi mi si semplifica tutto, e ciò non va bene! che strada potrei seguire?

[Rigel1]

Il livello di difficoltà è diverso a seconda che ti basti dimostrare l'esistenza del limite oppure che tu lo voglia calcolare.
Nel secondo caso non mi viene in mente una dimostrazione semplice; in mancanza di qualcosa di meglio ti dico come procederei.

Supponiamo di avere una funzione \(f\in W^{1,1}(0,1)\) (nel nostro caso \(f(x) = \arccos(x)\)).
Indichiamo con \(T_n(f)\) l'approssimazione numerica di \(\int_0^1 f\) ottenuta con la regola dei trapezi:
\[
T_n(f) := \frac{1}{2n}\left[ f(0) + 2 f\left(\frac{1}{n}\right) + \ldots + + 2 f\left(\frac{n-1}{n}\right)+f(1)\right]
\]
e con \(E_n(f)\) l'errore definito da
\[
E_n(f) := \int_0^1 f - T_n(f).
\]
E' più o meno noto (vedi ad esempio qui, Thm. 1.13) che, se \(f\in W^{1,1}(0,1)\), allora
\[
\lim_{n\to +\infty} n E_n(f) = 0.
\]
Nel nostro caso \(\int_0^1 f =1\), dunque questa relazione diventa
\[
n E_n(f) = n - n T_n(f) = n - \sum_{k=1}^n f(k/n) - \frac{f(1) - f(0)}{2} \to 0\qquad (n\to +\infty)
\]
cioè
\[
\lim_{n\to +\infty} \left[ n -\sum_{k=1}^n \arccos(k/n)\right] =
\frac{\arccos(1) - \arccos(0)}{2} = \frac{\pi}{4}.
\]

[Noisemaker]

grazie Rigel ... non conosco ancora le approssimazioni numeriche! darò cmq una letta al link

grazie ancora!

[Rigel1]

Purtroppo non le conosco nemmeno io.
So che, se \(f\in C^2\), si hanno stime dell'errore del tipo \(O(1/n^2)\) che si ricavano abbastanza semplicemente.
Se non ricordo male si possono ottenere stime \(O(1/n^{3/2})\) se \(f\) ed \(f'\) sono monotone (come in questo caso).

Tuttavia, se questo è un esercizio che ti è stato assegnato, immagino che le stime si possano fare esplicitamente senza fare ricorso a teoremi di approssimazione numerica.