[EX] - La minima costante di Lipschitz esiste
Devo dimostrare che se $f:X\to Y$ - con $X,Y$ spazi metrici - è Lipschitziana allora l'insieme
\[\Lambda:=\{L\ge 0\,|\, \forall x,y\in X,\ \text{d}_Y(f(x),f(y))\le L\text{d}_X(x,y) \}\subseteq \mathbb{R}\]
ha minimo, vale a dire che $"inf"\ \Lambda\in\Lambda$. Definisco
\[F:X^2\setminus\{(x,y)\in X^2\,|\, x=y\}\to \mathbb{R}\qquad F(x,y):=\dfrac{\text{d}_Y(f(x),f(y) )}{\text{d}_X(x,y)}\]
Per ogni $L\in\Lambda$, ho
\[\forall x,y\in X,\ x\ne y,\qquad F(x,y)\le L\]
Passando al sup ho $"sup" F\le L$, cioè $"sup"\ F$ è un minorante di $\Lambda$, e di conseguenza $"sup"\ F\le "inf"\ \Lambda$ e in particolare
\[\forall x,y\in X,\ x\ne y,\qquad F(x,y)\le \inf \Lambda\]
che altro non è che la tesi.
Giusto?
\[\Lambda:=\{L\ge 0\,|\, \forall x,y\in X,\ \text{d}_Y(f(x),f(y))\le L\text{d}_X(x,y) \}\subseteq \mathbb{R}\]
ha minimo, vale a dire che $"inf"\ \Lambda\in\Lambda$. Definisco
\[F:X^2\setminus\{(x,y)\in X^2\,|\, x=y\}\to \mathbb{R}\qquad F(x,y):=\dfrac{\text{d}_Y(f(x),f(y) )}{\text{d}_X(x,y)}\]
Per ogni $L\in\Lambda$, ho
\[\forall x,y\in X,\ x\ne y,\qquad F(x,y)\le L\]
Passando al sup ho $"sup" F\le L$, cioè $"sup"\ F$ è un minorante di $\Lambda$, e di conseguenza $"sup"\ F\le "inf"\ \Lambda$ e in particolare
\[\forall x,y\in X,\ x\ne y,\qquad F(x,y)\le \inf \Lambda\]
che altro non è che la tesi.
Giusto?
Risposte
[size=85]Avrei dovuto immaginarlo XD (Kashaman è un mio collega)[/size]
Thanks Paolo
Thanks Paolo
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