[ex] integrale improprio
Ecco un bell'integrale improprio:
$ int_(0)^(+oo) ([log(1+1/(1+x))]^(1/2))/(sqrt(log(1+x))) dx $
La soluzione proposta nella dispensa divide l'intervallo di integrazione in $[0, 1]$ e$ [1, +oo]$.
Su $[1, +oo]$ l'integrale diverge perché è asintoticamente equivalente a $1/(sqrt(xlogx))$, maggiorato a sua volta da $1/x^2$ che individua una serie armonica divergente. Fin qui tutto ok.
Il mio dubbio è sull'intervallo [0, 1]; leggo: "su [0, 1] l'integrale converge, perché l'integranda è asintoticamente equivalente a $sqrt(log2)/sqrt(x)$".
Nel caso $[1, +oo]$, mi pare si sia applicato il criterio dell'equivalenza asintotica: se ho due funzioni positive e asintoticamente equivalenti, definite nell'intervallo $[a, +oo]$, allora i loro rispettivi integrali impropri nell'intervallo $[a, +oo]$ si comportano allo stesso modo (sono entrambi divergenti o entrambi convergenti).
Nell'intervallo $[0, 1]$, però, non capisco in che senso ci si riferisce all'equivalenza asintotica: posso far tendere il limite di a $x$ a infinito se mi trovo nell'intervallo è $[0, 1]$?
$ int_(0)^(+oo) ([log(1+1/(1+x))]^(1/2))/(sqrt(log(1+x))) dx $
La soluzione proposta nella dispensa divide l'intervallo di integrazione in $[0, 1]$ e$ [1, +oo]$.
Su $[1, +oo]$ l'integrale diverge perché è asintoticamente equivalente a $1/(sqrt(xlogx))$, maggiorato a sua volta da $1/x^2$ che individua una serie armonica divergente. Fin qui tutto ok.
Il mio dubbio è sull'intervallo [0, 1]; leggo: "su [0, 1] l'integrale converge, perché l'integranda è asintoticamente equivalente a $sqrt(log2)/sqrt(x)$".
Nel caso $[1, +oo]$, mi pare si sia applicato il criterio dell'equivalenza asintotica: se ho due funzioni positive e asintoticamente equivalenti, definite nell'intervallo $[a, +oo]$, allora i loro rispettivi integrali impropri nell'intervallo $[a, +oo]$ si comportano allo stesso modo (sono entrambi divergenti o entrambi convergenti).
Nell'intervallo $[0, 1]$, però, non capisco in che senso ci si riferisce all'equivalenza asintotica: posso far tendere il limite di a $x$ a infinito se mi trovo nell'intervallo è $[0, 1]$?
Risposte
"jitter":
Nell'intervallo $[0, 1]$, però, non capisco in che senso ci si riferisce all'equivalenza asintotica: posso far tendere il limite di a $x$ a infinito se mi trovo nell'intervallo è $[0, 1]$?
No; hai che
\[
f(x) \sim \frac{\sqrt{\log 2}}{\sqrt{x}}\qquad x\to 0^+.
\]
Grazie 
Il mio testo riferisce il principio dell'equivalenza asintotica solo a funzioni positive che hanno limite del rapporto $1$ per $x->oo$ e non limite $l$ per $x -> a$. Ma allora è più "esteso"... comunque il principio usato è quello?
Il mio testo riferisce il principio dell'equivalenza asintotica solo a funzioni positive che hanno limite del rapporto $1$ per $x->oo$ e non limite $l$ per $x -> a$. Ma allora è più "esteso"... comunque il principio usato è quello?
Sì, il principio è quello (e anche la dimostrazione è la stessa).
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