[EX] - Integrale doppio
Chiedo conferma intorno all'impostazione del seguente
Esercizio. (Find?) The volume in the first octant bounded by the cylinder \(z=4-y^2\) and the planes \(x=0\), \(y=0\), \(z=0\), \(3x+4y=12\).
Nel piano \(yz\) l'equazione \(z=4-y^2\) è l'equazione di una parabola (ho considerato il riferimento così orientato)... Vi conviene farvi un disegnetto perché stare a spiegare di che solido si tratta sarebbe un macello un macello. Passando ai conti, \(y\) varia tra \(0\) e \(2\) mentre \(x\) è "vincolato" sulla retta (piano, se considerato in \(\mathbb{R}^3\)) \(3x+4y=12\). In definitiva il volume cercato dovrebbe essere \[V=\int_0^2 \int_0^{\frac{12-4y}{3}} 4-y^2 \, dx \, dy\]
Vi torna?
Ho cominciato a metter mano agli integrali multipli solo due giorni fa, quindi potrei aver detto delle fesserie...
Ringrazio
Edit. Corretti un paio di errori.
Esercizio. (Find?) The volume in the first octant bounded by the cylinder \(z=4-y^2\) and the planes \(x=0\), \(y=0\), \(z=0\), \(3x+4y=12\).
Nel piano \(yz\) l'equazione \(z=4-y^2\) è l'equazione di una parabola (ho considerato il riferimento così orientato)... Vi conviene farvi un disegnetto perché stare a spiegare di che solido si tratta sarebbe un macello un macello. Passando ai conti, \(y\) varia tra \(0\) e \(2\) mentre \(x\) è "vincolato" sulla retta (piano, se considerato in \(\mathbb{R}^3\)) \(3x+4y=12\). In definitiva il volume cercato dovrebbe essere \[V=\int_0^2 \int_0^{\frac{12-4y}{3}} 4-y^2 \, dx \, dy\]
Vi torna?
Ho cominciato a metter mano agli integrali multipli solo due giorni fa, quindi potrei aver detto delle fesserie...
Ringrazio
Edit. Corretti un paio di errori.
Risposte
Mi sembra corretto, anche se non capisco perché hai considerato anche $ -2 <= y <= 0$ .
$V = \int_(RR^3) \chi_{E}$ dove $E$ è l'insieme da te descritto. La funzione caratteristica la puoi scrivere come:
\[ \chi_E (x,y,z) = \chi_{[0,2]}(y) \;\cdot \;\chi_{\left [0, - \frac{4}{3} y + 4 \right ] \times [0, 4 - y^2]} (x,z) \]
\[ \begin{split} \int_{\mathbb{R}^3} \chi_{E}(x,y,z) dx dy dz &= \int_{\mathbb{R}^1} \chi_{[0,2]}(y) \left ( \int_{\mathbb{R}^2} \chi_{\left [0, - \frac{4}{3} y + 4 \right ] \times [0, 4 - y^2]} (x,z) dx dz \right ) dy \\ & = \int_0^2 dy \int_0^{- \frac{4}{3} y + 4} dx \int_0^{4 - y^2} dz \end{split}\]
$V = \int_(RR^3) \chi_{E}$ dove $E$ è l'insieme da te descritto. La funzione caratteristica la puoi scrivere come:
\[ \chi_E (x,y,z) = \chi_{[0,2]}(y) \;\cdot \;\chi_{\left [0, - \frac{4}{3} y + 4 \right ] \times [0, 4 - y^2]} (x,z) \]
\[ \begin{split} \int_{\mathbb{R}^3} \chi_{E}(x,y,z) dx dy dz &= \int_{\mathbb{R}^1} \chi_{[0,2]}(y) \left ( \int_{\mathbb{R}^2} \chi_{\left [0, - \frac{4}{3} y + 4 \right ] \times [0, 4 - y^2]} (x,z) dx dz \right ) dy \\ & = \int_0^2 dy \int_0^{- \frac{4}{3} y + 4} dx \int_0^{4 - y^2} dz \end{split}\]
"Seneca":
Mi sembra corretto, anche se non capisco perché hai considerato anche $ -2 <= y <= 0$ . [...]
Ahi ahi, sono un pirla. Non avevo letto bene i bounds (vado ad editare). Grazie Seneca!
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