[EX] Integrale dipendente da un parametro
Esercizio
Siano $a RR$ definita ponendo:
\[
f(x):=\int_a^b |t-x|\ \text{d} t\;.
\]
1. Provare che $f$ è continua in $[a,b]$ e derivabile in $]a,b[$.
2. Determinare gli estremi assoluti di $f$ ed i punti in cui essi sono assunti.
3. Fornire un'interpretazione geometrica del valore $f(x)$ e del risultato ottenuto al punto 2.
Siano $a RR$ definita ponendo:
\[
f(x):=\int_a^b |t-x|\ \text{d} t\;.
\]
1. Provare che $f$ è continua in $[a,b]$ e derivabile in $]a,b[$.
2. Determinare gli estremi assoluti di $f$ ed i punti in cui essi sono assunti.
3. Fornire un'interpretazione geometrica del valore $f(x)$ e del risultato ottenuto al punto 2.
Risposte
Immagino che l'integrale sia in $dt$.
"Rigel":
Immagino che l'integrale sia in $dt$.
Ovvio.
Con sto maledetto cellulare non solo ci metto anni a scrivere un post, ma sbaglio pure!
"gugo82":
Con sto maledetto cellulare non solo ci metto anni a scrivere un post, ma sbaglio pure!
Infatti io col cellulare ci rinuncio proprio... (poi sbaglio ugualmente anche col pc
).
Proprio bello questo esercizio. Semplice e istruttivo.
Grazie per l'apprezzamento, dissonance... Tuttavia non noto molto entusiasmo da parte dei "novellini".
Sarà che sono tutti in vacanza!
Sarà che sono tutti in vacanza!
Secondo me puoi aggiungere un quarto punto: si consideri \(f\colon \mathbb R\to \mathbb R\) definita ponendo
\[
f(x)=\int_a^b |t-x|\, dt.\]
(L'unica differenza con i punti precedenti è che ora la funzione è definita per ogni \(x\in \mathbb R\)). Si dimostri che \(f\) è una funzione convessa.
\[
f(x)=\int_a^b |t-x|\, dt.\]
(L'unica differenza con i punti precedenti è che ora la funzione è definita per ogni \(x\in \mathbb R\)). Si dimostri che \(f\) è una funzione convessa.
Sono un po' scarso in analisi 
Prima di tutto osserviamo che la funzione è ben definita, poiché fissato $x \in [a, b]$ l'applicazione $g(t) = |t-x|$ è integrabile su $[a, b]$ in quanto continua.
Dimostrare che $f$ è continua non è difficile e si può fare in due modi:
1)Sia $x_0 \in [a, b]$, allora $|f(x) - f(x_0)| = | \int_{a}^{b} \|t-x| - \|t-x_0| dt |<= \int_{a}^{b} | |t-x| -\|t-x_0| |dt$, per la disuguaglianza triangolare inversa si ha che $| |t-x| - |t-x_0| | <= |x - x_0|$, dalla monotonia dell'integrale segue che $ \int_{a}^{b} ||t-x| - |t-x_0||dt <= \int_{a}^{b} \|x - x_0 \|dt = |x-x_0|(b-a)$, per il teorema del confronto si ha la tesi.
2)Dimostriamo la continuità mediante la continuità sequenziale, cioè dimostriamo che per ogni successione $(x_n) \subset [a, b]$ tendente a $x_0 \in [a, b]$ si ha che $lim_{n \to +oo} f(x_n) = f(x_0)$.
Consideriamo l'applicazione $h(x, t): [a, b] xx [a, b] \to \mathbb{R}$ così definita: $h(x, t) = |t-x|$, tale applicazione è continua perché composizione di applicazioni continue. Siano $(x_n) \subset [a, b]$ che tende a $x_0 \in [a, b]$, $g_n(t) = h(x_n, t)$, dimostriamo che $g_n$ converge uniformemente a $g(t) = h(x_0, t)$ in $C([a, b], \mathbb{R})$: se per assurdo non convergesse uniformemente a $g(t)$ allora $\exists \epsilon > 0$ tale che $||g_n(t) - g(t)||_{\infty} <= \epsilon$ è falso, ovvero per infiniti indici $j \in \mathbb{N} \exists t_j \in [a, b]$ tale che $|g_j(t_j) - g(t_j) |> \epsilon$, consideriamo $A = { j \in \mathbb{N} | \exists t_j \in [a, b] : |g_j(t_j) - g(t_j) |> \epsilon} != \emptyset$, è chiaro che $(t_j)_{j \in A}$ è una successione da $A$ in $[a, b]$ e poiché $[a, b]$ è sequenzialmente compatto allora $(t_j)$ ammette una sottosuccessione $(t_{j_k})$ convergente a $\bar{t} \in [a, b]$. quindi, a meno di rinominare gli indici, $\forall k \in \mathbb{N}$ si ha che $| g_{j_k}(t_{j_k}) - g(t_{j_k})| > \epsilon$, ovvero $|h(x_{j_k}, t_{j_k}) - h(x_0, t_{j_k})| > \epsilon$, il che è assurdo perché va contro la continuità di $h$.
Entrambe funzionano anche in se $f$ è definita su $\mathbb{R}$.
Per quanto riguarda la derivabilità... non riesco a dimostrare che è derivabile, qualche hint?
EDIT: forse si può esplicitare $f$: basta considerare la sostituzione $s = t-x$ e calcolare l'integrale, o sbaglio? $f$ dovrebbe essere una funzione polinomiale di secondo grado in $x$, che è derivabile in $]a, b[$.
Il minimo dovrebbe esserci in $x = \frac{a+b}{2}$, i massimi negli estremi dell'intervallo.
Fisso $t \in [a, b]$ e $x, y \in \mathbb{R}$, per avere la tesi basta dimostrare che $|t - \alphax - \betay| <= \alpha|t-x| + \beta|t-y|$ con $\alpha + \beta = 1, \alpha, \beta >= 0$: $|t - \alphax - \betay| = |t + (\alpha - 1)t - (\alpha - 1)t - \alphax - \betay| = |\alphat +\betat - \alphax -\betay| <= |alphat - alphax| + |\betat - \betay| = \alpha|t-x| + \beta|t-y|$, quindi $\forall t \in [a, b]$ si ha che $|t - \alphax - \betay| <= \alpha|t-x| + \beta|t-y|$(con $\alpha$ e $\beta$ come sopra), dalla monotonia dell'integrale si ha la tesi.
Spero di non averne sparate troppe. Ciao!
Prima di tutto osserviamo che la funzione è ben definita, poiché fissato $x \in [a, b]$ l'applicazione $g(t) = |t-x|$ è integrabile su $[a, b]$ in quanto continua.
Dimostrare che $f$ è continua non è difficile e si può fare in due modi:
1)Sia $x_0 \in [a, b]$, allora $|f(x) - f(x_0)| = | \int_{a}^{b} \|t-x| - \|t-x_0| dt |<= \int_{a}^{b} | |t-x| -\|t-x_0| |dt$, per la disuguaglianza triangolare inversa si ha che $| |t-x| - |t-x_0| | <= |x - x_0|$, dalla monotonia dell'integrale segue che $ \int_{a}^{b} ||t-x| - |t-x_0||dt <= \int_{a}^{b} \|x - x_0 \|dt = |x-x_0|(b-a)$, per il teorema del confronto si ha la tesi.
2)Dimostriamo la continuità mediante la continuità sequenziale, cioè dimostriamo che per ogni successione $(x_n) \subset [a, b]$ tendente a $x_0 \in [a, b]$ si ha che $lim_{n \to +oo} f(x_n) = f(x_0)$.
Consideriamo l'applicazione $h(x, t): [a, b] xx [a, b] \to \mathbb{R}$ così definita: $h(x, t) = |t-x|$, tale applicazione è continua perché composizione di applicazioni continue. Siano $(x_n) \subset [a, b]$ che tende a $x_0 \in [a, b]$, $g_n(t) = h(x_n, t)$, dimostriamo che $g_n$ converge uniformemente a $g(t) = h(x_0, t)$ in $C([a, b], \mathbb{R})$: se per assurdo non convergesse uniformemente a $g(t)$ allora $\exists \epsilon > 0$ tale che $||g_n(t) - g(t)||_{\infty} <= \epsilon$ è falso, ovvero per infiniti indici $j \in \mathbb{N} \exists t_j \in [a, b]$ tale che $|g_j(t_j) - g(t_j) |> \epsilon$, consideriamo $A = { j \in \mathbb{N} | \exists t_j \in [a, b] : |g_j(t_j) - g(t_j) |> \epsilon} != \emptyset$, è chiaro che $(t_j)_{j \in A}$ è una successione da $A$ in $[a, b]$ e poiché $[a, b]$ è sequenzialmente compatto allora $(t_j)$ ammette una sottosuccessione $(t_{j_k})$ convergente a $\bar{t} \in [a, b]$. quindi, a meno di rinominare gli indici, $\forall k \in \mathbb{N}$ si ha che $| g_{j_k}(t_{j_k}) - g(t_{j_k})| > \epsilon$, ovvero $|h(x_{j_k}, t_{j_k}) - h(x_0, t_{j_k})| > \epsilon$, il che è assurdo perché va contro la continuità di $h$.
Entrambe funzionano anche in se $f$ è definita su $\mathbb{R}$.
Per quanto riguarda la derivabilità... non riesco a dimostrare che è derivabile, qualche hint?
EDIT: forse si può esplicitare $f$: basta considerare la sostituzione $s = t-x$ e calcolare l'integrale, o sbaglio? $f$ dovrebbe essere una funzione polinomiale di secondo grado in $x$, che è derivabile in $]a, b[$.
Il minimo dovrebbe esserci in $x = \frac{a+b}{2}$, i massimi negli estremi dell'intervallo.
"dissonance":
Si dimostri che \( f \) è una funzione convessa.
Fisso $t \in [a, b]$ e $x, y \in \mathbb{R}$, per avere la tesi basta dimostrare che $|t - \alphax - \betay| <= \alpha|t-x| + \beta|t-y|$ con $\alpha + \beta = 1, \alpha, \beta >= 0$: $|t - \alphax - \betay| = |t + (\alpha - 1)t - (\alpha - 1)t - \alphax - \betay| = |\alphat +\betat - \alphax -\betay| <= |alphat - alphax| + |\betat - \betay| = \alpha|t-x| + \beta|t-y|$, quindi $\forall t \in [a, b]$ si ha che $|t - \alphax - \betay| <= \alpha|t-x| + \beta|t-y|$(con $\alpha$ e $\beta$ come sopra), dalla monotonia dell'integrale si ha la tesi.
Spero di non averne sparate troppe. Ciao!
Mi sono ricordato solo adesso di rispondere. Non voglio entrare nel merito dell'esercizio proposto da Gugo, però dico solo che il punto 1 è fatto bene (non ho letto lo svolgimento con la continuità sequenziale) e che sulla derivabilità sono d'accordo che si può fare esplicitamente un conto, e perché non lo fai?
Sulla convessità è OK, ma la richiesta era di dimostrare la convessità per \(x\in \mathbb R\). Puoi anche calcolare l'integrale esplicitamente, e disegnare il grafico.
Sulla convessità è OK, ma la richiesta era di dimostrare la convessità per \(x\in \mathbb R\). Puoi anche calcolare l'integrale esplicitamente, e disegnare il grafico.
@Shocker: Dato che si tratta di un esercizio fondamentalmente di Analisi I, la dimostrazione della continuità 1 è quella più aderente allo spirito dell'esercizio.
Per la derivabilità, basta effettivamente fare un contariello semplice.
Il calcolo dei punti di estremo assoluto segue in scioltezza.
Il punto interessante è quello di fornire un'interpretazione geometrica della faccenda.
Per la derivabilità, basta effettivamente fare un contariello semplice.
Il calcolo dei punti di estremo assoluto segue in scioltezza.
Il punto interessante è quello di fornire un'interpretazione geometrica della faccenda.
@Gugo: fare il punto due è stato più forte di me, visto che sto studiando Analisi 2 .
Il conto che hai fatto era quello che avevo in mente, mi sono fatto "abbindolare" da $x$ dimenticandomi che è fissata e ho pensato di procedere tramite sostituzione.
Riguardo l'interpretazione geometrica non ho capito bene quello che si vuole sapere: insomma $f(x)$ è convessa e descrive la variazione dell'area di $|t-x|$ in $[a, b]$ al variare di $x \in [a, b]$. Cosa mi sto perdendo di grosso?
@Dissonance: ho preso $x, y \in \mathbb{R}$ per dimostrare la convessità, ho sbagliato qualcosa
Ciao e grazie delle risposte
. Il conto che hai fatto era quello che avevo in mente, mi sono fatto "abbindolare" da $x$ dimenticandomi che è fissata e ho pensato di procedere tramite sostituzione.
Riguardo l'interpretazione geometrica non ho capito bene quello che si vuole sapere: insomma $f(x)$ è convessa e descrive la variazione dell'area di $|t-x|$ in $[a, b]$ al variare di $x \in [a, b]$. Cosa mi sto perdendo di grosso?
@Dissonance: ho preso $x, y \in \mathbb{R}$ per dimostrare la convessità, ho sbagliato qualcosa
Ciao e grazie delle risposte
"Dare un'interpretazione geometrica" significa chiarire quali sono i legami del problema posto con qualche problema geometrico elementare (cioè riguardante triangoli, rettangoli, quadrati, etc...), il quale può essere desunto guardando bene ai significati geometrici delle quantità in gioco.
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