[Ex] Integrale dipendente da parametro, $L^p$
Esercizio: Sia $1 < p < \infty$ , $f , g \in L^p (X, \mathcal{A} , \mu )$ ed
\[ F(t) = \int_X | f + t g |^p d \mu \;\;\;\;\;,\;\;\;\;t \in \mathbb{R}\]
Provare che $F$ è derivabile e calcolare la derivata di $F$ in $t = 0$.
Svolg:
Pongo $\eta(x, t) = | f(x) + t g(x)|^p$.
$\eta(* , t)$ è misurabile $AA x \in X$ ed $\eta(x , *)$ è derivabile $\forall t \in \mathbb{R}$.
\[ \left |\frac{\partial \eta}{\partial t} \right |= p | f + t g |^{p-1} |g| \le p 2^{p-2} ( |g| | f |^{p-1} + |t|^{p-1} |g |^{p} )\]
Se $t \in [ a , b ]$ , $a < b \in RR$, allora $|t|^{p-1}$ si maggiora con $M = \text{sup}_{(a,b)} |t|^{p-1} < \infty$; $|g| | f |^{p-1}$ è integrabile per Holder, mentre $|g |^{p}$ è integrabile poiché -per ipotesi- $g \in L^p$.
Dunque in ogni sottointervallo limitato di $RR$ si ottiene una maggiorazione di \( \left |\frac{\partial \eta}{\partial t} \right | \) con una funzione nonnegativa integrabile, ovvero $p 2^{p-2} ( |g| | f |^{p-1} + M |g |^{p} )$.
Per il teorema di derivazione sotto il segno di integrale, $F(t)$ risulta derivabile e
\[ \frac{d}{dt} F(t) = \int_X p ( f + t g )^{p-1} g \cdot \text{ sign} (f + t g) d \mu \]
da cui
\[ \frac{d}{dt} F(t)_{| t = 0} = \int_X p f^{p-1} g \cdot \text{ sign } f \;d \mu \]
________________
Il ragionamento mi sembra corretto. Cosa ve ne pare?
\[ F(t) = \int_X | f + t g |^p d \mu \;\;\;\;\;,\;\;\;\;t \in \mathbb{R}\]
Provare che $F$ è derivabile e calcolare la derivata di $F$ in $t = 0$.
Svolg:
Pongo $\eta(x, t) = | f(x) + t g(x)|^p$.
$\eta(* , t)$ è misurabile $AA x \in X$ ed $\eta(x , *)$ è derivabile $\forall t \in \mathbb{R}$.
\[ \left |\frac{\partial \eta}{\partial t} \right |= p | f + t g |^{p-1} |g| \le p 2^{p-2} ( |g| | f |^{p-1} + |t|^{p-1} |g |^{p} )\]
Se $t \in [ a , b ]$ , $a < b \in RR$, allora $|t|^{p-1}$ si maggiora con $M = \text{sup}_{(a,b)} |t|^{p-1} < \infty$; $|g| | f |^{p-1}$ è integrabile per Holder, mentre $|g |^{p}$ è integrabile poiché -per ipotesi- $g \in L^p$.
Dunque in ogni sottointervallo limitato di $RR$ si ottiene una maggiorazione di \( \left |\frac{\partial \eta}{\partial t} \right | \) con una funzione nonnegativa integrabile, ovvero $p 2^{p-2} ( |g| | f |^{p-1} + M |g |^{p} )$.
Per il teorema di derivazione sotto il segno di integrale, $F(t)$ risulta derivabile e
\[ \frac{d}{dt} F(t) = \int_X p ( f + t g )^{p-1} g \cdot \text{ sign} (f + t g) d \mu \]
da cui
\[ \frac{d}{dt} F(t)_{| t = 0} = \int_X p f^{p-1} g \cdot \text{ sign } f \;d \mu \]
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Il ragionamento mi sembra corretto. Cosa ve ne pare?
Risposte
L'argomento è corretto (sono però saltati dei moduli sui termini elevati a \(p-1\) negli ultimi due integrali).
Vedi però quanto ti ho detto nell'altro thread.
Vedi però quanto ti ho detto nell'altro thread.
Scusa la domanda banale, ma i valori assoluti sono necessari anche se ho introdotto la funzione segno?
Beh sì; l'esponente \(p-1\) è reale, dunque la base deve essere non negativa. Per \(1
\frac{d}{dt} |t|^p = p |t|^{p-1} \text{sign} (t).
\]
\frac{d}{dt} |t|^p = p |t|^{p-1} \text{sign} (t).
\]
Hai ragione. 
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