[EX] Integrale di una funzione inversa

[otta96]

Stai preparando Analisi 1 ma non riesci a trovare esercizi stimolanti? Hai dato Analisi 1 tempo fa ma ti piace fare esercizi di Analisi 1 non proprio standard nel tempo libero?

Ecco quello che fa per te!

Sia $f:[1,+\infty)\to[1,+\infty)$ definita da $f(x)=x^5-x+1$.
Verificate che è una funzione biunivoca e considerate l'inversa denotandola $g$.
Calcolate dunque $\int_1^(6+sqrt20)g(x)dx$.

[gugo82]

Sicuro dell’estremo superiore d’integrazione?

[otta96]

Si si. All'inizio volevo scrivere $31$, poi mi sono detto: "nah, troppo facile così "
Pero forse ho un pochino esagerato, diciamo che se qualcuno (specialmente chi ancora non l'ha data Analisi 1) non ci riesce con quell'estremo può farlo con $31$.
EDIT: Rettifico, in realtà l'estremo è effettivamente sbagliato, provvedo subito a correggerlo (gugo se avevi mostrato dubbi solo perché era un numero strano ok, ma se avevi capito come doveva essere tanto di cappello!)

[gugo82]

In realtà non ho carta e matita a portata di mano, quindi ho chiesto conferma.

[feddy]

Ciao otta, metto la mia soluzione in spoiler

Detta $f(x)=x^5 -x +1$, essa è continua in quanto è funzione polinomiale e si ha: $f'(x)=5x^4-1$, che per $x \in I=[1,+\infty)$ è sempre maggiore o uguale a 0. Pertanto la funzione è crescente in $I$ e dunque iniettiva. Per la suriettività, sia $c \in I$, mostro che esiste $ x \in I$ tale che $f(x)=c$. Si cerca dunque se vale $f(x)=c$, o equivalentemente, se $g(x)=f(x)-c$ ha zero. Vale $g(1)=1-c \leq 0$ (poiché $c \in I$) e $\lim_x g(x) = +\infty$, dunque per il teorema degli zeri $g(x)$ ha (almeno) zero e dunque $f$ è suriettiva. In realtà lo zero è unico in quanto è pure iniettiva.

Quindi $f$ è bigettiva e ammette l'inversa con $f^{-1}$.

Per risolvere l'integrale $\int_1^{6+\sqrt(20)} f^{-1}(x)dx$ pongo $u=f^{-1}(x) => f(u)=x$, da cui $dx=f'(u)du$ e l'integranda diventa $u f'(u)$ con estremi d'integrazione dati da $A=f^{-1}(1)$ e $B=f^{-1}(\sqrt(20)+6)$ poiché la $f$ è biiettiva. Cioè, $A$ è la soluzione di $f(A)=1$, e si verifica essere $A=1$ (le altre quattro vanno scartate) , mentre $B$ soddisfa l'equazione $f(B)=6+\sqrt(20)$. Vista la presenza della potenza quinta e di $\sqrt(20)$, avevo il sospetto che tale estremo $B$ fosse uguale alla radice aurea, cosa confermata da un rapido check numerico col metodo di Newton. In particolare, si vede che ci sono quattro radici complesse (ovviamente a due a due coniugate)

 F=@(x) x^5 - x + 1 - (sqrt(20)+6);
JF=@(x) 5*x^4-1;
x0=1;
AbsTol=1e-12;
RelTol=1e-9;
res=-JF(x0)\F(x0);
while (abs(res)> AbsTol + abs(x0)*RelTol)
	x0+=res;
	res=-JF(x0)\F(x0);
end
x0+=res;
x0

$x_0=1.61803398874989$

Dunque $B=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

e l'integrale è $\int_{1}^{B} u (5u^4-1)du=[...]=\frac{77+37 \sqrt{5}}{12}$

[otta96]

@feddy

[feddy]

Bell'esercizio comunque otta! Soprattutto istruttivo