[EX] - Infinitesimi

[Plepp]

E' stata lasciata per esercizio la dimostrazione della seguente

Proposizione. Siano $f,g:X\subseteq RR\to RR $ infinitesime in $x_0\in\text{Dr}(X)$ e definitivamente non nulle vicino a $x_0$. Allora
\[f\ \text{infinitesimo di ordine} \ \alpha\ \text{rispetto a }g \text{ in } x_0\iff 1/f\ \text{infinito di ordine} \ \alpha\ \text{rispetto a }1/g \text{ in } x_0\]

Provo $(\implies)$. Per ipotesi ho
\[\lim_{x\to x_0} \dfrac{f(x)}{|g(x)|^\alpha}=L\in \mathbb{R}^\star\tag{1}\]
So già che $1/f$ e $1/g$ sono infinite in $x_0$; mi rimane da far vedere che
\[\lim_{x\to x_0}\dfrac{1/f(x)}{1/|g(x)|^\alpha}\in \mathbb{R}^\star\]
Abbiamo
\[\lim_{x\to x_0}\dfrac{1/f(x)}{1/|g(x)|^\alpha}=\lim_{x\to x_0} \dfrac{|g(x)|^\alpha}{f(x)}\stackrel{(1)}{=}1/L\in\mathbb{R}^\ast\]
Right?

(la $(\Leftarrow)$ sarebbe praticamente tale e quale)

[Plepp]

Sono alle prese con un altro esercizio...

Proposizione 2. Sia $f:A\to RR$ infinitesima in $x_0\in\text{Dr}(A)$ di ordine $\alpha$ e sia $g:B\to RR$ infinitesima in $0$ di ordine $\beta$. Supponiamo che $0\in B\cap \text{Dr}(B)$ e che $f(A)\subseteq B$. Allora $g\circ f$ è infinitesima in $x_0$ di ordine $\alpha\beta$.

(per "infinitesima in $x_0$ di ordine tot" s'intende "infinitesima in $x_0$ di ordine tot rispetto all'infinitesimo campione $|x-x_0|$").

Mi pare di esserci riuscito, ma non ho sfruttato la continuità di $g$ in $0$, quindi sono un po' dubbioso.

Per ipotesi ho che
\[\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{|x-x_0|^\alpha}=L\in \mathbb{R}^\ast\qquad\text{e}\qquad \lim_{y\to 0}\dfrac{g(y)}{|y|^\beta}=M\in\mathbb{R}^\ast\tag{1}\]
Dalla prima identità deduco che, necessariamente, $f(x)$ è definitivamente non nulla vicino ad $x_0$.
Quello che mi interessa dimostrare è che
\[\lim_{x\to x_0}\dfrac{g(f(x))}{|x-x_0|^{\alpha\beta}}\in\mathbb{R}^\ast\]
Poiché $0\in \text{Dr}(B)$, $f(x)\to 0$ e $f(x)\ne 0$ vicino ad $x_0$ ho, per il Teorema sul limite di funzioni composte,
\[\exists\lim_{x\to x_0}\dfrac{g(f(x))}{|f(x)|^\beta}=M\]
da cui
\[M=\lim_{x\to x_0}\dfrac{g(f(x))}{|f(x)|^\beta}=\lim_{x\to x_0}\dfrac{g(f(x))}{|f(x)|^\beta}\dfrac{|x-x_0|^{\alpha\beta}}{|x-x_0|^{\alpha\beta}} =\lim_{x\to x_0}\dfrac{g(f(x))}{|x-x_0|^{\alpha\beta}}\dfrac{|x-x_0|^{\alpha\beta}}{|f(x)|^{\beta}}\\
=\lim_{x\to x_0}\dfrac{g(f(x))}{|x-x_0|^{\alpha\beta}}\left[\dfrac{|x-x_0|^{\alpha}}{|f(x)|}\right]^\beta
\stackrel{(\star)}{=}\lim_{x\to x_0}\dfrac{g(f(x))}{|x-x_0|^{\alpha\beta}}\lim_{x\to x_0}\left[\dfrac{|x-x_0|^{\alpha}}{|f(x)|}\right]^\beta
=(1/L)^\beta \lim_{x\to x_0}\dfrac{g(f(x))}{|x-x_0|^{\alpha\beta}}
\]
e infine
\[\lim_{x\to x_0}\dfrac{g(f(x))}{|x-x_0|^{\alpha\beta}}=M\cdot L^\beta\ne 0\]

EDIT: rileggendo adesso mi rendo conto di aver fatto un errore nel passaggio $(\star)$ ho tacitamente supposto che il limite
\[\lim_{x\to x_0}\dfrac{g(f(x))}{|x-x_0|^{\alpha\beta}}\tag{2}\]
esista...come riparare?

[theras]

L'hai detto tu,Giuseppe:
non hai mai usato l'ipotesi di continuità della $g$
(anche se in fondo l'hai implicitamente fatto una volta,lecitamente,all'inizio della seconda delle tue verifiche) !
Sulla prima direi che ci sei,anche se ho dato solo una distratta occhiata prederby :
saluti dal web.

[Plepp]

Ciao Theras

Dovrei cercare di sfruttar la continuità dici?

"theras":
(anche se in fondo l'hai implicitamente fatto una volta,lecitamente,all'inizio della seconda delle tue verifiche)

E dove? se ti riferisci a questo passaggio

"Plepp":
Poiché $ 0\in \text{Dr}(B) $, $ f(x)\to 0 $ e $ f(x)\ne 0 $ vicino ad $ x_0 $ ho, per il Teorema sul limite di funzioni composte,
\[ \exists\lim_{x\to x_0}\dfrac{g(f(x))}{|f(x)|^\beta}=M \]

non mi pare di averlo fatto Ho sfruttato il fatto che $f(x)\ne 0=\lim_{x\to x_0}f(x)$ in un intorno di $x_0$, che mi permette di far a meno della continuità. Sbaglio?

[theras]

No,Giuseppe:
la continuità della $g$ è fondamentale per la liceità della tua deduzione
(occorre che la componente più esterna sia continua,per poter affermare la veridicità generale di quella tesi,
ed in effetti nelle tua hp la $h(y)=(g(y))/(|y|^(beta)):B setminus {0} to RR$ lo è..)!
Per rispondere all'altro dubbio da te manifestato osserva semplicemente che,
fermo restante quanto hai ottenuto sfruttando appunto la continuità di $g$ e qualche altro teorema elementare sulla continuita delle funzioni,
avrai $(g(f(x)))/(|x-x_0|^(alpha beta))=(g(f(x)))/(|x-x_0|^(alpha beta))[(|x-x_0|^(alpha))/(f(x))]^(beta)*[(f(x))/(|x-x_0|^(alpha))]^(beta)$:
per quanto hai giustamente dedotto prima del passaggio (*),
dovrebbe bastarti per concludere legittimamente quanto t'interessa ..
Saluti dal web.

[Plepp]

Esatto esatto! Che fesso Grazie Theras

Continuo a non essere d'accordo sulla continuità Insomma, il teorema che dice

Siano $f:A\to RR$, $g:B\to RR$, con $f(A)\subseteq B$; siano inoltre $x_0$ un p.d.a. di $A$ e $y_0$ un p.d.a. di $B$. Supponiamo che $\exists \lim_{x\to x_0}f(x):= y_0$ e che $\exists\lim_{y\to y_0}g(y):= L$. Supponiamo inoltre che (HP). Allora $\exists \lim_{x\to x_0}(g\circ f)(x)=L$.

resta comunque valido in due situazioni:

[*:3i22jiu7](HP)= $y_0\in B$ e $g(y_0)=L$ ($g$ continua in $y_0$);[/*:m:3i22jiu7]
[*:3i22jiu7](HP)= esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che $f(x)\ne y_0$ per ogni $x\in U\cap A\setminus \{x_0\}$.[/*:m:3i22jiu7][/list:u:3i22jiu7]

Io mi trovo nella seconda situazione in ogni caso, quindi posso fare a meno della continuità.

[theras]

Giuseppe,puoi far vedere come applichi l'ipotesi meno restrittiva
(su quella che ho chiamato $h$,chiaramente ,dato che questo fai per desumere,come hai fatto,
che $EElim_(x to x0)(h circ f)(x)=M$..)?
Saluti dal web.

[Plepp]

Sul fatto che ci sia sicuramente un intorno $U$ di $x_0$ in cui $f$ è non nulla suppongo siamo d'accordo. Sappiamo inoltre che $f(x)\to 0=: y_0$ per $x\to x_0$. Le funzioni che dobbiamo comporre sono $f$ e
\[h(y):=\dfrac{g(y)}{|y|^\beta}\]
che converge per ipotesi ad $M$ per $y\to y_0$. A questo punto direi che ci siamo, no? Insomma, tra le ipotesi abbiamo $y_0=0\in B=\text{dom} g$, cioè (insieme al fatto che $g$ è infinitesima in $y_0=0$) la continuità di $g$ in $y_0=0$, ma non mi pare di averla sfruttata in alcun modo!

PS: la proposizione ce l'ha scritta l'esercitatore, che a quanto pare fa spesso qualche ipotesi inutile per star più comodo quindi non mi sorprenderei se in effetti la continuità non fosse necessaria.

[theras]

M'hai convinto,Giuseppe:
torna tutto anche con il vincolo d'inclusione al quale dev'esser sottoposta l'immagine della restrizione di $f$ al tuo intorno "bucato",
che m'aveva ingannato e fatto ritenere indispensabile la continuità di $g$ e dunque di $h$,
e pertanto ti basterà mostrare più esplicitamente come hai dedotto l'esistenza di quell'intorno opportuno di $x_0$
(teorema della permanenza del segno generalizzato,presumo..)
per ritenere acquisita la versione del teorema in questione con la tua ipotesi meno restrittiva !
Saluti dal web.
P.S.Attendi conferme autorevoli,prima di cantar "vittoria",anche se direi proprio che dovresti esserci ..

[Plepp]

Sì esatto se $f(x)/(|x-x_0|^\alpha)\to L\ne 0$ per $x\to x_0$ allora necessariamente $f(x)\ne 0$ là vicino: per il Teorema della permanenza del segno $f(x)/(|x-x_0|^\alpha)$ (e di conseguenza $f(x)$) ha lo stesso segno di $L$ in un intorno di $x_0$.

Grazie ancora Theras

PS: ahahah sì, ma direi che in effetti possiam star tranquilli alla fine non è che ci sia granché da dire! E' solo che l'ebetudine e la stanchezza indotte dall'eccessivo studio di questi ultimi giorni mi portano a non vedere cose abbastanza ovvie