[Ex] Immagine di ins. di misura nulla secondo Lebesgue

[Seneca1]

Esercizio:
Sia data una funzione $f : RR -> RR$. $f $ $\in \mathcal{C}^1(RR)$. Provare che $f$ manda insiemi di misura nulla in insiemi di misura nulla (la misura è quella di Lebesgue).

Purtroppo non riesco a concludere niente senza qualche ipotesi sulla limitatezza di $f'$. Qualcuno ha qualche suggerimento (senza dare la soluzione, per cortesia)?

[Rigel1]

Se \(K\) è il tuo insieme di misura nulla, ti basta mostrare che \(f(K_n)\) ha misura nulla per ogni \(n\in\mathbb{Z}\), dove \(K_n := K \cap [n, n+1]\); in altri termini, non è restrittivo supporre che \(K\) sia limitato.

[Seneca1]

Magnifico. Hai ragione! Grazie Rigel.

[Paolo902]

Forse basta $f$ assolutamente continua (ma non sono sicuro, quindi se qualcuno vuole confermare/smentire è il benvenuto).

[Seneca1]

Non ti so dire, dal momento che le funzioni assolutamente continue sono per me delle estranee. Penso comunque basti la lipschitzianità anziché l'essere $C^1$ (che è comunque richiedere un po' di più rispetto all'assoluta continuità, vero?).

[Lali1]

La lipsichtzianità implica necessariamente l'assoluta continuità, non altrettanto il viceversa.
Comunque è possibile provare quel risultato per diffeomorfismi di classe $C^{k}$ ma questo è decisamente più di un rafforzamento di ipotesi.

[Rigel1]

Sì, basta l'assoluta continuità.
La proprietà di mandare insiemi di misura nulla in insiemi di misura nulla è anche nota come Condizione (N) di Lusin, ed è una caratterizzazione dell'assoluta continuità per le funzioni continue e a variazione limitata (teorema di Banach-Zarecki).