[EX] Funzioni Olomorfe a Supporto Compatto

[gugo82]

Questo semplice esercizio è pensato per gli studenti che preparano Analisi Complessa o Metodi Matematici.
Prego chi non rientra nella categoria di astenersi dal presentare una soluzione, almeno per la prima settimana di vita del thread.

***

Esercizio:

Sia \(\Omega \subseteq \mathbb{C}\) un aperto non vuoto.
Dimostrare che l'unica funzione olomorfa in \(\Omega\) avente supporto compatto è la funzione identicamente nulla.

[Paolo902]

Da guardare solo in caso di emergenza (spero che gugo non si offenda se mi permetto di inserire questo hint)

Avete presente il determinismo in filosofia? Con certe funzioni è così... Se ne conoscete il valore anche solo per un brevissimo lasso di tempo allora le avete determinate per... tutta l'eternità

[Quinzio]

Qualcuno abbia pietà di un povero perito elettronico e provi a dissipare i miei dubbi:

Apprendo che il supporto di una funzione è l'insieme dei punti del dominio (precisamente la sua chiusura) ove la funzione NON si annulla (cfr. qui).
Ora nella tesi dell'esercizio di gugo, è scritto che la funzione in questione è quella nulla. Ma questa funzione ha per sostegno l'insieme vuoto, giusto
L'insieme vuoto è compatto (chiuso e limitato) ?
Ho qualche difficoltà ad attribuire queste proprietà all'insieme vuoto.

[gugo82]

@ Quinzio:

Per quanto riguarda la compattezza di \(\varnothing\) in \(\mathbb{R}\), nota che:

[*:1wxgg425] l'insieme \(\varnothing\) è limitato: infatti esso è contenuto nel'intervallo limitato \([-1,1]\);

[/*:m:1wxgg425]
[*:1wxgg425] l'insieme \(\varnothing\) è chiuso: infatti, l'insieme dei suoi punti di accumulazione è \(\varnothing\) e risulta \(\varnothing \subseteq \varnothing\);[/*:m:1wxgg425][/list:u:1wxgg425]

quindi \(\varnothing \) è compatto in \(\mathbb{R}\).
D'altra parte non ci vuole un gran che a capire che la precedente dimostrazione si può generalizzare a qualsiasi spazio di tipo \(\mathbb{R}^N\) o \(\mathbb{C}^N\): quindi \(\varnothing\) è compatto in ogni \(\mathbb{R}^N\) ed in ogni \(\mathbb{C}^N\).

Più topologicamente, l'insieme \(\varnothing\) è compatto in qualsiasi spazio topologico. Infatti, comunque si fissi un suo ricoprimento \(\mathcal{R}\) fatto di aperti, i.e. comunque si scelga una famiglia di aperti \(\mathcal{R}=\{A_i\}_{i\in I}\) tale che \(\varnothing \subseteq \cup_{i\in I} A_i\), da \(\mathcal{R}\) si sempre estrarre un ricoprimento finito (invero, basta scegliere un qualsiasi \(A_j\in \mathcal{R}\) per avere \(\varnothing \subseteq A_j\)).

[Zero87]

Non è la soluzione, ma una domanda/input/quello che è , diretto all'autore del thread

Appena hai postato mi si è accesa una lampadina, magari sbagliata, però mi si è accesa.

Funzione a supporto compatto: dunque $\exists D(0,r)$ tale che all'interno è contenuto il supporto, cioè la chiusura dell'insieme dei punti in cui la funzione assume valori non nulli (se non ricordo male la "definizione tecnica").

Dunque, all'esterno di $D(0,r)$ la funzione è sempre nulla.

All'interno del supporto, la funzione è olomorfa, dunque suppongo che non abbia singolarità (altrimenti avresti detto "meromorfa" o altre cose simili o avresti specificato, no?), dunque $|f(z)|\le M$ per $M$ opportuna costante reale positiva. Al di fuori del supporto la funzione è nulla, dunque è olomorfa in tutto il piano complesso, quindi intera.

Ma allora... non dovrebbe valere il teorema di Liouville?

Si dedurrebbe infatti che $f$ è costante e, nel caso specifico, nulla dato che esiste tutto un insieme in cui è nulla.

[gugo82]

@ Zero87: La dimostrazione proposta va bene per \(\Omega =\mathbb{C}\), evidentemente.
Come fare, invece, se \(\Omega\) è un aperto più piccolo di \(\mathbb{C}\)?

[Zero87]

"gugo82":@ Zero87: La dimostrazione proposta va bene per \(\Omega =\mathbb{C}\), evidentemente.
Come fare, invece, se \(\Omega\) è un aperto più piccolo di \(\mathbb{C}\)?

Infatti, pensavo, e non è detto sia giusto

Se $\Omega$ è il supporto di $f$, $\Omega$ dovrebbe essere la chiusura dell'insieme dei punti in cui la funzione assume valori non nulli.
Al di fuori di $\Omega$, la funzione è, dunque, nulla, quindi pensavo a
$F(z)={ ( f(z), \qquad z\in \Omega ),( 0, \qquad z\in \CC \\ \Omega ):}$
dunque la $F$ è olomorfa in tutto $\CC$ dato che in $\Omega$ è olomorfa per ipotesi, fuori è nulla (e la funzione nulla è comunque olomorfa), quindi è intera e vale il teorema di Liouville come ho spiegato prima...

... [size=85]no?[/size]
[size=60] Per una volta che pensavo di averci azzeccato! [/size]

[Studente Anonimo]

Siamo oltre la settimana di vita

Non basta applicare questo? Siccome il supporto è chiuso, il complementare del supporto è un aperto, quindi la funzione data e la funzione nulla coincidono in un qualche disco aperto contenuto in [tex]\Omega[/tex]. Non ho usato che il supporto è limitato, forse quindi basta che sia chiuso

[Paolo902]

L'idea di Martino coincide esattamente con la mia, a cui accennavo scherzosamente in spoiler.