[EX] - Funzioni lipschitziane, derivabili, uniformemente continue
Cerco degli esempi di funzioni che siano
1) uniformemente continue ma non lipschitziane;
2) uniformemente continue ma non holderiane;
3) derivabili non lipschitziane;
4) derivabili lipschitziane;
5) non derivabili e lipschitziane;
6) holderiane di ordine $\alpha\in(0,1)$ non derivabili;
7) derivabili e non $\alpha$-holderiane;
8) derivabili e $\alpha$-holderiane.
Quello che ho trovato:
1) $\sqrt{x}$ in $[0,1]$, che è u.c. per Heine-Cantor, ma non è lipschitz (lo dimostro osservando che $|\sqrt{x}/x|\to +\infty$).
2) Se per "uniformemente continua ma non holderiane" si intende "uniformemente continua ma non $\alpha$-holderiana per qualche $\alpha$", l'esempio di prima va bene (ma sospetto che non sia così); se invece s'intende "uniformemente continua ma non $\alpha$-holderiana per ogni $\alpha$" non mi viene in mente nulla ora
3) $x^2$ in $RR$ (non è u.c., quindi a maggior ragione non è lipschitz). Vabé qui di esempi se ne possono far tanti...
4) $x$ in $RR$. Qui gli esempi possibili sono ancora di più...
5) $|x|$ in un intervallo simmetrico rispetto all'origine.
6) Vedi punto (1).
7) $e^x$ in $RR$ (poiché $x^\alpha=o(e^x)$ per $x\to +\infty$ per ogni $\alpha>0$).
8) Tutte le funzioni costanti. (Non molto) Meno banale: $\sqrt{x}$ in $(0,1]$.
Ci siamo?
1) uniformemente continue ma non lipschitziane;
2) uniformemente continue ma non holderiane;
3) derivabili non lipschitziane;
4) derivabili lipschitziane;
5) non derivabili e lipschitziane;
6) holderiane di ordine $\alpha\in(0,1)$ non derivabili;
7) derivabili e non $\alpha$-holderiane;
8) derivabili e $\alpha$-holderiane.
Quello che ho trovato:
1) $\sqrt{x}$ in $[0,1]$, che è u.c. per Heine-Cantor, ma non è lipschitz (lo dimostro osservando che $|\sqrt{x}/x|\to +\infty$).
2) Se per "uniformemente continua ma non holderiane" si intende "uniformemente continua ma non $\alpha$-holderiana per qualche $\alpha$", l'esempio di prima va bene (ma sospetto che non sia così); se invece s'intende "uniformemente continua ma non $\alpha$-holderiana per ogni $\alpha$" non mi viene in mente nulla ora
3) $x^2$ in $RR$ (non è u.c., quindi a maggior ragione non è lipschitz). Vabé qui di esempi se ne possono far tanti...
4) $x$ in $RR$. Qui gli esempi possibili sono ancora di più...
5) $|x|$ in un intervallo simmetrico rispetto all'origine.
6) Vedi punto (1).
7) $e^x$ in $RR$ (poiché $x^\alpha=o(e^x)$ per $x\to +\infty$ per ogni $\alpha>0$).
8) Tutte le funzioni costanti. (Non molto) Meno banale: $\sqrt{x}$ in $(0,1]$.
Ci siamo?
Risposte
Manca il 2, che poi è quello più interessante. Chiaramente si intende che devi trovare una funzione non $\alpha$-Hölderiana per nessun $\alpha$. Per trovare un esempio del genere devi capire bene cosa significa la condizione di $\alpha$-Hölderianità. Conosci l'interpretazione grafica della condizione di Lipschitz? Una cosa analoga si può formulare per la condizione di Hölder. Su quella devi ragionare per trovare un controesempio.
Ci sei arrivato? Provo a dare un ulteriore suggerimento. Ho visto che hai usato la funzione
\[
f(x)=\sqrt{\lvert x \rvert}
\]
per dare un esempio di funzione \(1/2\) Hölderiana, e hai fatto bene. Più in generale, se avessi voluto dare un esempio di funzione \(\alpha\)-Hölderiana avresti potuto considerare
\[
f(x)=\lvert x \rvert^{\alpha}.
\]
Questi esempi hanno la particolarità di rendere la distanza
\[\lvert f(x)-f(0)\rvert \]
esattamente uguale all'infinitesimo \(\lvert x \rvert^\alpha\), e quindi non sostituibile da infinitesimi di ordine superiore. Cosa succederebbe se \(\lvert f(x)-f(0)\rvert\) fosse un infinitesimo di ordine non confrontabile con nessuna potenza di \(\lvert x\rvert\)?
\[
f(x)=\sqrt{\lvert x \rvert}
\]
per dare un esempio di funzione \(1/2\) Hölderiana, e hai fatto bene. Più in generale, se avessi voluto dare un esempio di funzione \(\alpha\)-Hölderiana avresti potuto considerare
\[
f(x)=\lvert x \rvert^{\alpha}.
\]
Questi esempi hanno la particolarità di rendere la distanza
\[\lvert f(x)-f(0)\rvert \]
esattamente uguale all'infinitesimo \(\lvert x \rvert^\alpha\), e quindi non sostituibile da infinitesimi di ordine superiore. Cosa succederebbe se \(\lvert f(x)-f(0)\rvert\) fosse un infinitesimo di ordine non confrontabile con nessuna potenza di \(\lvert x\rvert\)?
Ma che piacere "rivederti" dissonance!
Scusa il ritardo, oggi ho avuto il mio bel daffare con gli integrali [size=85](il carissimo Donato s'è guardato bene dal dimostrare parecchie cosette, e il "lavoro sporco" tocca a me e qualche altro interessato)[/size].
Dunque, devo dire che l'interpretazione grafica della situazione mi ha aiutato ben poco, mentre più utile è stato ragionare in termini di infinitesimi. Mi sembra che $f(x):=1/{\ln|x|}$ in $[-\epsilon,\epsilon]$ ($|\epsilon|<1$...) possa andare; coll'uniforme continuità ci siamo (converge in $0$, quindi la si può prolungare e scatta Heine-Cantor). Inoltre, essendo
\[\forall \alpha>0,\qquad \lim_{x\to 0^+}x^\alpha\ln(x)=0^-\]
ho, per ogni $\alpha\in(0,1)$,
\[\left|\dfrac{1/\ln|x|}{x^\alpha}\right|\to +\infty\qquad \text{per}\ x\to 0\]
Giusto?
Grazie
Scusa il ritardo, oggi ho avuto il mio bel daffare con gli integrali [size=85](il carissimo Donato s'è guardato bene dal dimostrare parecchie cosette, e il "lavoro sporco" tocca a me e qualche altro interessato)[/size].
Dunque, devo dire che l'interpretazione grafica della situazione mi ha aiutato ben poco, mentre più utile è stato ragionare in termini di infinitesimi. Mi sembra che $f(x):=1/{\ln|x|}$ in $[-\epsilon,\epsilon]$ ($|\epsilon|<1$...) possa andare; coll'uniforme continuità ci siamo (converge in $0$, quindi la si può prolungare e scatta Heine-Cantor). Inoltre, essendo
\[\forall \alpha>0,\qquad \lim_{x\to 0^+}x^\alpha\ln(x)=0^-\]
ho, per ogni $\alpha\in(0,1)$,
\[\left|\dfrac{1/\ln|x|}{x^\alpha}\right|\to +\infty\qquad \text{per}\ x\to 0\]
Giusto?
Grazie
Esatto.
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