[EX] Funzioni continue

[Noisemaker]

Buona sera! posto un problema... ma non sono sicuro della soluzione ...

Fonte: G.E. Silov " Analisi Matematica - Funzioni di una variabile" (Ed.Mir I Edizione 1978), pp 182 Problema 7

Sia $f :[a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione continua. Dimostrare che se
\begin{align*}
x_1, x_2, ... , x_n \in (a,b),
\end{align*}
allora esiste $x_0 \in (a,b)$ tale che

\begin{align*}
f(x_0) = \frac{f(x_1)+f(x_2) +\dots +f(x_n)}{n}.
\end{align*}


Soluzione.

Consideriamo i punti $x_1, x_2, ..., x_n :$ possiamo sen'altro supporre che
\begin{align*}
x_1\le x_2\le\dots\le x_n ,
\end{align*}
ed essendo l'insieme dei punti

\begin{align*}
S=\left \{ x_1, x_2, \dots x_n \right \}\subset (a,b)\subset\mathbb{R},\end{align*}

l'intervallo $[x_1,x_n]$ è compatto, cioè chiuso e limitato. Essendo $f$ continua in un compatto $[a,b],$ e dunque continua anche nel compatto $[x_1,x_n]\subset[a,b],$ sappiamo che l'immagine dell'intervallo $[x_1,x_n]$ tramite $f$ è ancora un compatto. Allora $f([x_1,x_n])$ è compatto (chiuso e limitato); questo ci dice che:

- LIMITATO $\Rightarrow$ certamente esistono
\begin{align*}
\sup f( [x_1,x_n] ),\quad\mbox{e}\quad \inf f( [x_1,x_n] ):
\end{align*}

- CHIUSO $\Rightarrow$
\begin{align*}
\sup f([x_1,x_n]), \inf f([x_1,x_n])\in f( [x_1,x_n] )
\end{align*}

e dunque ne sono il massimo e il minimo dell'insieme delle immagini dell'intervallo $[x_1,x_n].$

Allora in $[x_1,x_n]$ esitono certamete due numeri, diciamo $x_i$ e $x_j$ $(1\le\ i \le n \ , \ 1\le\ j \le n)$, tali che la loro immagine tramite $f$ coincida con il $\max$ e $\min$ dell'immagine dell intervallo, cioè tali che

\begin{align*}
f(x_i) = \max (f([x_1,x_n]))\quad \text{e }\quad f(x_j) = \min(f([x_1,x_n]));
\end{align*}

allora per definizione di massimo e di minimo di un insieme si ha:

\begin{align*}
f(x_i) \ge\frac{f (x_1) + f (x_2) +\cdots + f (x_n)}{n} \qquad \text{e}\qquad f(x_j) \le\frac{f (x_1) + f (x_2) +\cdots + f (x_n)}{n}.
\end{align*}

Consideriamo ora
\begin{align*}
f(x_0) = \frac{f(x_1)+f(x_2) +...+f(x_n)}{n}:\qquad \text{si ha che:}\qquad f(x_0)\in [f(x_j),f(x_i)]\subset f((a,b)); \end{align*}

pertanto, poichè $f$ è continua in $[a, b]$ è continua anche in $[ x_j, x_i]\subset (a,b)$ e il teorema dei valori intermedi garantisce l'esistenza di $x_0$ all'interno di questo intervallo per il quale
\begin{align*}
f(x_0) = \frac{f(x_1)+f(x_2) +\dots +f(x_n)}{n}
\end{align*}

[PZf]

Non ho guardato bene la tua soluzione (mi sono fermato quando ho avuto l'impressione che stessi facendo passaggi non necessari), ma a me sembra che sia sufficiente una semplice applicazione del teorema degli zeri.

$\text{inf}{f(x_k)}<=(f(x_1)+...+f(x_n))/n<=\text{sup}{f(x_k)}$

Dato che gli $x_k$ sono in numero finito esiste un $n$ tale che $f(x_n)=\text{inf}{f(x_k)}$ e un $m$ tale che $f(x_m)=\text{sup}{f(x_k)}$.

Quindi per $x$ compreso fra $x_n$ e $x_m$ la $f(x)$ assume tutti i valori compresi fra $f(x_n)$ e $f(x_m)$ (corollario del teorema degli zeri per le funzioni continue), in particolare c'è un punto $x_0$ tale che $f(x_0)=(f(x_1)+...+f(x_n))/n$.

[Noisemaker]

scusa se ti ho annoiato!!!