[ex] funzione suriettiva in ogni intervallo
mi sembra che questo esercizio sia ancora più "strano" di quello che avevo postato qui, però queste cose mi piacciono un sacco 
trovare una funzione \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) tale che in ogni intervallo assuma tutti i valori di \(\mathbb R\)
io non ci sono riuscito, mi hanno detto una soluzione ed è piuttosto intrigante
trovare una funzione \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) tale che in ogni intervallo assuma tutti i valori di \(\mathbb R\)
io non ci sono riuscito, mi hanno detto una soluzione ed è piuttosto intrigante
Risposte
Che ci sia di mezzo la funzione, opportunamente manipolata $y = tanx $ che ha la interessante proprietà che in $ (-pi/2,+pi/2 )$ assume tutti i valori di $RR$?
Secondo me il trucco è introdurre una specie di funzione $f(x)$ "che va molto a caso" anche per piccole variazioni del numero $x in RR$
Provo a dirne una:
dato $x in RR$, consideriamo lo sviluppo decimale del suo valore assoluto $a_0 a_1 a_2 a_3 ... a_n , a_(n+1) a_(n+2) ...$
da cui nasce univocamente una successione $(a_n)$ con tutti gli $a_n in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}$
N.B.: tutte e tre le funzioni sono non negative
la mia funzione $f$ è così definita:
\[
f(x):= \frac{ f_0 (x) ~ - ~ f_1 (x) }{ 1+ f_2 (x) }
\]
Mi rendo però conto solo ora
che se una sola delle tre serie dovesse divergere, non avremmo un valore definito.
Quindi non va bene. Non cancello il mio intervento perchè potrebbe dare qualche spunto
Provo a dirne una:
dato $x in RR$, consideriamo lo sviluppo decimale del suo valore assoluto $a_0 a_1 a_2 a_3 ... a_n , a_(n+1) a_(n+2) ...$
da cui nasce univocamente una successione $(a_n)$ con tutti gli $a_n in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}$
Definisco tre funzioni ausiliarie: \[ f_0 (x):= \sum_{k=0}^{+\infty} a_{3k} ~ ~ ~ ~ f_1 (x):= \sum_{k=0}^{+\infty} a_{3k+1} ~ ~ ~ ~ f_2 (x):= \sum_{k=0}^{+\infty} a_{3k+2} \]
N.B.: tutte e tre le funzioni sono non negative
la mia funzione $f$ è così definita:
\[
f(x):= \frac{ f_0 (x) ~ - ~ f_1 (x) }{ 1+ f_2 (x) }
\]
Mi rendo però conto solo ora
che se una sola delle tre serie dovesse divergere, non avremmo un valore definito.Quindi non va bene. Non cancello il mio intervento perchè potrebbe dare qualche spunto
Ci provo
Definiamo innanzitutto le seguenti successioni di indici
$\sigma_{0,k}=1+2k$, $\sigma_{1,k)=2\sigma_{0,k}=2+4k$, $\sigma_{2,k}=2\sigma_{1,k}=4+8k$, ... $\sigma_{h,k}=2^h+2^{h+1}k$. Per esempio
$\sigma_{0,k}=1,3,5,7,9,...$
$\sigma_{1,k}=2,6,10,14,18,...$
$\sigma_{2,k}=4,12,20,28,36,...$
Se non mi sbaglio le immagini $E_h={\sigma_{h,k}:k\in NN}$ sono tutte disgiunte e la loro unione fa $NN$ (e se mi sbaglio mi pare comunque chiaro che delle successioni fatte così si trovano).
Prendiamo anche una funzione $\Phi:(-1,1)\to\RR$ surgettiva, per esempio $\Phi(x)=x/(1-x^2)$.
Dato $x$ in $[0,1)$ considero la sua rappresentazione decimale $x=\sum_{k=1}^\infty a_k/10^k$ con $a_k$ interi tra $0$ e $9$.
Per $h$ intero definisco allora $g_h(x)=(-1)^{\sigma_{h,0}}\sum_{k=1}^\infty\frac{a_{\sigma_{h,k}}}{10^k}$.
In sostanza per definire $g_h$ uso solo le cifre di $x$ che appartengono a $E_h$ - la prima la uso per il segno e le altre per
produrre il valore assoluto di $g_h(x)$. Definiamo anche $f_h(x):=\Phi(g_h(x))$.
Per $h$ in $NN$ chiamiamo $I_h$ l'insieme dei punti le cui cifre decimali sono tutte nulle , ECCETTO quelle in $E_h$.
Si ha:
1) se $x\in I_h$ allora $x\leq\frac{1}{10^{\sigma_{h,0}}}$ (questo mi pare ovvio).
2) $f(I_h)=RR$. Infatti dato $y$ reale prendiamo $y'$ in $(-1,1)$ tale che $\Phi(y')=y$. Scriviamo $|y'|$ in cifre decimali:
$|y'|=\sum_{n=1}^\infty b_n/10^n$. Scegliamo allora $x$ in $I_k$ ponendo $a_{\sigma_{h,0}}$ eguale a $0$ o $1$ a seconda che $y'$ sia positivo o nonnegativo e $a_{a_{h,k}}=b_k$ per $k\geq1$. E' chiaro che $g_h(x)=y'$ da cui
$f_h(x)=y$.
A questo punto definisco $f(x):=\sum_{h=0}^\infty f_h(x)$ se questa serie converge, altrimenti pongo (per esempio) $f(x)=0$.
Dico che su ogni intervallo del tipo $[m/10^n,{m+1}/10^n)$, con $n\geq1, 0\le m<2^n-1$ interi, la $f$ assume tutti i valori reali. Per vederlo fissiamo $y\in RR$. Notiamo che l'estremo sinistro $a=m/10^n$ ha necessariamente una rappresentazione decimale in cui tutte le cifre dalla $n+1$ esima in poi sono nulle. Prendiamo $\bar h$ tale che $\sigma_{\bar h,0}\geq n+1$. Allora $f_{h}(a)=0$ per ogni $h\geq \bar h$. Per quanto visto in 2) possiamo trovare $x'$ in $I_{\bar h}$ tale che $f_{\bar h}(x')=y-\sum_{h=0}^{\bar h-1}f_h(a)$.
Ma allora il punto $x:=a+x'$ sta nell'intervallo indicato (a causa di 1) ) e si ha
$f(x)=\sum_{h=0}^{bar h}f_h(x)=\sum_{h=0}^{bar h-1}f_h(a)+f_{\bar h}(x')=y$.
Mi pare che questo concluda la dimostrazione (se si vuole $f$ definita su $RR$ basta "replicare" la $f$ costruita sopra su ogni intervallo).
In realtà pensando a questo problema mi era venuto in mente un altro approccio, in cui però c'è un punto in cui bisogna
"andare con i piedi di piombo" (almeno per me).
Prendiamo l'insieme di Vitali $V$ (di cui si è parlato recentemente in un altro post).
Per costruire tale insieme si introduce la relazione $x\sim y$ se e solo se $x-y\in QQ$ e poi costruisce $V$ prendendo un rappresentante per ogni classe di equivalenza (assioma della scelta required).
E' chiaro che $RR=\bigcup_{q\in QQ}(V+q)$ e che $(V+q_1)\cap(V+q_2)=\emptyset$ se $q_1\ne q_2$ con $q_1,q_q\in QQ$.
AMMETTIAMO di poter costruire una funzione $g:V\to RR$ surgettiva. Allora posso definire $f(x):=g([x])$ (dove $[x]$ indica
la classe di equivalenza di $x$). Tale $f$ è surgettiva ed è periodica di qualunque periodo razionale. Ne segue che per ogni
$y$ in $RR$ la controimmagine $f^{-1}(y)$ è densa.
Tutto dipende allora dall'esistenza di $g$ e cioè dal fatto che $V$ abbia la cardinalità del continuo. E' ovvio che $V$ non può essere numerabile dato che altrimenti $RR$ sarebbe numerabile. A questo punto mi chiedo se
1) ci sia una dimostrazione diretta del fatto che: se l'unione numerabile di "copie" di un insieme mi restituisce $RR$, allora tale insieme deve avere la cardinalità di $RR$
2) oppure, data l'indecidibilità dell'ipotesi del continuo, non si possa assumere che non esistano cardinalità comprese tra quella di $NN$ e quella di $RR$ e dedurne la tesi - NON HO MAI INCONTRATO questioni del genere (che ho solo orecchiato)
e quindi non sono sicuro che la cosa stia in piedi così. Se c'è qualche esperto in ascolto PLEASE HELP.
Definiamo innanzitutto le seguenti successioni di indici
$\sigma_{0,k}=1+2k$, $\sigma_{1,k)=2\sigma_{0,k}=2+4k$, $\sigma_{2,k}=2\sigma_{1,k}=4+8k$, ... $\sigma_{h,k}=2^h+2^{h+1}k$. Per esempio
$\sigma_{0,k}=1,3,5,7,9,...$
$\sigma_{1,k}=2,6,10,14,18,...$
$\sigma_{2,k}=4,12,20,28,36,...$
Se non mi sbaglio le immagini $E_h={\sigma_{h,k}:k\in NN}$ sono tutte disgiunte e la loro unione fa $NN$ (e se mi sbaglio mi pare comunque chiaro che delle successioni fatte così si trovano).
Prendiamo anche una funzione $\Phi:(-1,1)\to\RR$ surgettiva, per esempio $\Phi(x)=x/(1-x^2)$.
Dato $x$ in $[0,1)$ considero la sua rappresentazione decimale $x=\sum_{k=1}^\infty a_k/10^k$ con $a_k$ interi tra $0$ e $9$.
Per $h$ intero definisco allora $g_h(x)=(-1)^{\sigma_{h,0}}\sum_{k=1}^\infty\frac{a_{\sigma_{h,k}}}{10^k}$.
In sostanza per definire $g_h$ uso solo le cifre di $x$ che appartengono a $E_h$ - la prima la uso per il segno e le altre per
produrre il valore assoluto di $g_h(x)$. Definiamo anche $f_h(x):=\Phi(g_h(x))$.
Per $h$ in $NN$ chiamiamo $I_h$ l'insieme dei punti le cui cifre decimali sono tutte nulle , ECCETTO quelle in $E_h$.
Si ha:
1) se $x\in I_h$ allora $x\leq\frac{1}{10^{\sigma_{h,0}}}$ (questo mi pare ovvio).
2) $f(I_h)=RR$. Infatti dato $y$ reale prendiamo $y'$ in $(-1,1)$ tale che $\Phi(y')=y$. Scriviamo $|y'|$ in cifre decimali:
$|y'|=\sum_{n=1}^\infty b_n/10^n$. Scegliamo allora $x$ in $I_k$ ponendo $a_{\sigma_{h,0}}$ eguale a $0$ o $1$ a seconda che $y'$ sia positivo o nonnegativo e $a_{a_{h,k}}=b_k$ per $k\geq1$. E' chiaro che $g_h(x)=y'$ da cui
$f_h(x)=y$.
A questo punto definisco $f(x):=\sum_{h=0}^\infty f_h(x)$ se questa serie converge, altrimenti pongo (per esempio) $f(x)=0$.
Dico che su ogni intervallo del tipo $[m/10^n,{m+1}/10^n)$, con $n\geq1, 0\le m<2^n-1$ interi, la $f$ assume tutti i valori reali. Per vederlo fissiamo $y\in RR$. Notiamo che l'estremo sinistro $a=m/10^n$ ha necessariamente una rappresentazione decimale in cui tutte le cifre dalla $n+1$ esima in poi sono nulle. Prendiamo $\bar h$ tale che $\sigma_{\bar h,0}\geq n+1$. Allora $f_{h}(a)=0$ per ogni $h\geq \bar h$. Per quanto visto in 2) possiamo trovare $x'$ in $I_{\bar h}$ tale che $f_{\bar h}(x')=y-\sum_{h=0}^{\bar h-1}f_h(a)$.
Ma allora il punto $x:=a+x'$ sta nell'intervallo indicato (a causa di 1) ) e si ha
$f(x)=\sum_{h=0}^{bar h}f_h(x)=\sum_{h=0}^{bar h-1}f_h(a)+f_{\bar h}(x')=y$.
Mi pare che questo concluda la dimostrazione (se si vuole $f$ definita su $RR$ basta "replicare" la $f$ costruita sopra su ogni intervallo).
In realtà pensando a questo problema mi era venuto in mente un altro approccio, in cui però c'è un punto in cui bisogna
"andare con i piedi di piombo" (almeno per me).
Prendiamo l'insieme di Vitali $V$ (di cui si è parlato recentemente in un altro post).
Per costruire tale insieme si introduce la relazione $x\sim y$ se e solo se $x-y\in QQ$ e poi costruisce $V$ prendendo un rappresentante per ogni classe di equivalenza (assioma della scelta required).
E' chiaro che $RR=\bigcup_{q\in QQ}(V+q)$ e che $(V+q_1)\cap(V+q_2)=\emptyset$ se $q_1\ne q_2$ con $q_1,q_q\in QQ$.
AMMETTIAMO di poter costruire una funzione $g:V\to RR$ surgettiva. Allora posso definire $f(x):=g([x])$ (dove $[x]$ indica
la classe di equivalenza di $x$). Tale $f$ è surgettiva ed è periodica di qualunque periodo razionale. Ne segue che per ogni
$y$ in $RR$ la controimmagine $f^{-1}(y)$ è densa.
Tutto dipende allora dall'esistenza di $g$ e cioè dal fatto che $V$ abbia la cardinalità del continuo. E' ovvio che $V$ non può essere numerabile dato che altrimenti $RR$ sarebbe numerabile. A questo punto mi chiedo se
1) ci sia una dimostrazione diretta del fatto che: se l'unione numerabile di "copie" di un insieme mi restituisce $RR$, allora tale insieme deve avere la cardinalità di $RR$
2) oppure, data l'indecidibilità dell'ipotesi del continuo, non si possa assumere che non esistano cardinalità comprese tra quella di $NN$ e quella di $RR$ e dedurne la tesi - NON HO MAI INCONTRATO questioni del genere (che ho solo orecchiato)
e quindi non sono sicuro che la cosa stia in piedi così. Se c'è qualche esperto in ascolto PLEASE HELP.
che onore, quanto lavoro fatto solo per me posto la soluzione che conosco:
@ViciousGoblin: devo dire che la seconda costruzione mi sembra molto interessante e sorprendentemente semplice, in più solleva domande molto più toste di quanto avrei mai posto io.
Continuavo a riflettere sul secondo approccio indicato nel post precedente (facendo delle ricerche mi sono accorto tra l'altro che di cose simili avevo discusso in un post di qualche anno fa ...).
Comunque mi pare che si possa fare senza l'ipotesi del continuo: nella dispensa in rete a http://www.mat.uniroma1.it/people/dandr ... dinali.pdf
trovo l'enunciato:
Sia $X$ un insieme infinito. Allora $X\times NN$ ha la stessa cardinalità di $X$.
Mi pare che ne segua che l'insieme di Vitali $V$ ha la stessa cardinalità di $RR$ dato che, per come è costruito $V$, $RR$ è in corrispondenza biunivoca con $V\times QQ$.
Questo dovrebbe sistemare le cose e fornire un secondo modo di costruire questa (assurda ..) funzione.
EDIT ho corretto un errore di battitura che rendeva tutto sbagliato ($X\times NN$ NON $X\times RR$ )
Comunque mi pare che si possa fare senza l'ipotesi del continuo: nella dispensa in rete a http://www.mat.uniroma1.it/people/dandr ... dinali.pdf
trovo l'enunciato:
Sia $X$ un insieme infinito. Allora $X\times NN$ ha la stessa cardinalità di $X$.
Mi pare che ne segua che l'insieme di Vitali $V$ ha la stessa cardinalità di $RR$ dato che, per come è costruito $V$, $RR$ è in corrispondenza biunivoca con $V\times QQ$.
Questo dovrebbe sistemare le cose e fornire un secondo modo di costruire questa (assurda ..) funzione.
EDIT ho corretto un errore di battitura che rendeva tutto sbagliato ($X\times NN$ NON $X\times RR$ )
"albertobosia":
:shock: che onore, quanto lavoro fatto solo per me
In realtà ti odio
, dato che mi fai perdere un sacco di tempo....ma non resisto.Leggo ora, tra l'altro, il tuo esempio in un libretto che si intitola "Counterexamples in Analysis" (B.R.Gelbaum, J.M.H.Olmstead, DOVER), pag. 31, la voce:
A function with domain$[0,1]$ whose range for every nondegenerate subinterval of $[0,1]$ is [0,1]$
in cui si dice:
A function having this proerty was contructed by H. Lebesgue ...
Chapeau.
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