Ex. Funzione integrale $F(x)$..corretta?

[21zuclo]

Ciao a tutti, non so se ho svolto correttamente questo esercizio. Controllate e ditemi per favore. E se aveste agito in maniera differente o c'è un metodo più veloce, scrivetelo pure. Grazie in anticipo.

Studiare la funzione e tracciarne un grafico qualitativo (insieme di definzione, limiti alla frontiera, eventuali asintoti, crescere/decrescere, eventuali estremanti, NON è richiesto lo studio della derivata seconda)

$F(x)=\int_(2)^(x)(t^10-3t^5-10)/(t^6(1-9t^4))dt$

ho svolto così

$f(t)=(t^10-3t^5-10)/(t^6(1-9t^4))$ ..
$dom(f(t))=\forall t\in\mathbb{R}-{0,(\sqrt(3))/(3)}$

perchè ho messo $t^6(1-9t^4)\ne 0\to t^6(1-3t^2)(1+3t^2)\ne 0\to t\ne 0 \vee t\ne (\sqrt{3})/(3)$

ho controllato allora la funzione integrale in 0 e in $\sqrt(3)/3$

ecco per $t\to 0$ si ha $f(t)~ (C)/(t^6)$ ..e nell'intorno di 0.. NON CONVERGE!..

poi vediamo in $\sqrt(3)/3$ si ha $f(t)~ (C)/(-9t^4)$ e NON converge nell'intorno di $\sqrt(3)/3$

quindi siccome $0<\sqrt(3)/3 < 2$

$Dom F=(\sqrt(3)/3,+\infty)$

$F(2)=0$

$\lim_(x\to \sqrt(3)/3)F(x)=-\infty$ (asintoto verticale)

$\lim_(x\to +\infty)F(x)=-\infty$

poi vedo la derivata prima $F'(x)=(x^10-3x^5-10)/(x^6(1-9x^4))$

studio dove $F'(x)>0\to x\in(\sqrt(3)/3,\root(5)(5))$

ottengo $root(5)(5)$ risolvendo l'equazione a numeratore ponendola >0 e facendo la sostituzione $x^5=t$

quindi la funzione CRESCE in $(\sqrt(3)/3,\root(5)(5))$ e DECRESCE in $(\root(5)(5),+\infty)$

il punto $x=root(5)(5)$.. max locale

[Maci86]

Domanda stupidina, perché non consideri le "radici negative"?

[21zuclo]

perchè il dominio della FUNZIONE INTEGRALE cioè di $F(x)$ è definita nel più grande intervallo aperto che contiene il punto $x_0$

$F(x)=\int_(x_0)^(x)f(t)dt$

nel nostro caso è $x_0=2$

[Maci86]

Scusa ma il dominio di f(t) non è $RR\\{0,sqrt(3)/3}$ bensì $RR\\{0,sqrt(3)/3,-sqrt(3)/3}$ per esempio, non trovi?

[21zuclo]

"Maci86":Scusa ma il dominio di f(t) non è $RR\\{0,sqrt(3)/3}$ bensì $RR\\{0,sqrt(3)/3,-sqrt(3)/3}$ per esempio, non trovi?

sì però nell'intorno di zero $U(0)$ la funzione integrale NON CONVERGE, non esiste..per cui metto dei paletti! non vado oltre lo zero. Poi valuto in $x=\sqrt(3)/(3)$ e NON converge neanche lì.. siccome c'è $x_0=2$

prendo la parte positiva!..

[Maci86]

Ok Allora $RR_0^+\\{sqrt(3)/3}$