[EX] - \( f_n \) continue convergente ad \(f\) continua, puntualmente ma non uniformemente
Classici esempi di convergenza non uniforme vengono forniti esibendo una successione di funzioni continue che converge puntualmente ad una funzione discontinua - per esempio \( f_n : [0,1] \to \mathbb{R}\) definite da \( f_n(x) = x^n \) converge puntualmente alla funzione \( f (x) = \chi_{\{1\}} (x) \) che però è discontinua (e quindi la convergenza non può essere uniforme).
Trovo curioso che si possa
(Esercizio.) Costruire una successione di funzioni \( f_n : [0,1] \to \mathbb{R} \) continue e una funzione continua \(f : [0,1] \to \mathbb{R} \) tali che \( f_n(x) \to f(x) \) per ogni \( x \in [0,1] \) ma che la convergenza non sia uniforme.
Trovo curioso che si possa
(Esercizio.) Costruire una successione di funzioni \( f_n : [0,1] \to \mathbb{R} \) continue e una funzione continua \(f : [0,1] \to \mathbb{R} \) tali che \( f_n(x) \to f(x) \) per ogni \( x \in [0,1] \) ma che la convergenza non sia uniforme.
Risposte
Ciao Delirium,
EDIT: Ho corretto la definizione delle funzioni, mi sono accorto che non avevo scritto quella che avevo in mente

