[EX] - \( f_n \) continue convergente ad \(f\) continua, puntualmente ma non uniformemente

[Sk_Anonymous]

Classici esempi di convergenza non uniforme vengono forniti esibendo una successione di funzioni continue che converge puntualmente ad una funzione discontinua - per esempio \( f_n : [0,1] \to \mathbb{R}\) definite da \( f_n(x) = x^n \) converge puntualmente alla funzione \( f (x) = \chi_{\{1\}} (x) \) che però è discontinua (e quindi la convergenza non può essere uniforme).

Trovo curioso che si possa

(Esercizio.) Costruire una successione di funzioni \( f_n : [0,1] \to \mathbb{R} \) continue e una funzione continua \(f : [0,1] \to \mathbb{R} \) tali che \( f_n(x) \to f(x) \) per ogni \( x \in [0,1] \) ma che la convergenza non sia uniforme.

[feddy]

Ciao Delirium,

$f_{n}=\frac{nx}{1+n^2 x^2}$, con $x \in [0,1]$. Ovviamente $f_n \rarr f$ puntualmente, dove $f=0$ su $[0,1]$

Non c'è convergenza uniforme: derivando le $f_n$ e ponendo le derivate uguali a zero si vede che i punti stazionari sono $x_{n}=+- \frac{1}{n}$ e $|f_n(x_n)-f|=\frac{1}{2} \ne 0$.

[otta96]

Sia \( f_n(x)=n^2x\chi_{[0,1/n]}(x)+(2n-n^2x)\chi_{[1/n,1/2n]}(x) \), $f=0$. Allora sono tutte continue e $f_n$ converge puntualmente a $f$, ma la convergenza non è uniforme perché l'integrale non commuta con il limite.

EDIT: Ho corretto la definizione delle funzioni, mi sono accorto che non avevo scritto quella che avevo in mente

[Sk_Anonymous]

Avevo pensato a questo (cambio i nomi per non far confusione con quelli dell'OP): \[ g_n (x) := \begin{cases} g(n x) & \text{se } 0 \le x \le 1/n \\ 0 & \text{se } 1/n < x \le 1 \end{cases} \]con \[ g(x) = \begin{cases} 2x & \text{se } 0 \le x \le 1/2 \\ 2 - 2x & \text{se } 1/2 < x \le 1 \end{cases} \](piu' difficile da scriversi che da disegnarsi, è un triangolo con vertici \( (0,0), (1,0) \) e \( (1/2,1)\)).