[EX] Due disuguaglianze tra norme
Esercizio:
Siano \(a
\begin{split}
\| u\|_1 &= \int_a^b |u(x)|\ \text{d} x \\
\| u\|_2 &= \sqrt{\int_a^b |u(x)|^2\ \text{d} x}\\
\| u\|_\infty &= \max_{x\in [a,b]} |u(x)|
\end{split}
\]
per ogni funzione \(u\in C([a,b])\).
1. Dimostrare che:
\[ \tag{1}
\| u\|_\infty \leq \frac{1}{2}\ \|u^\prime \|_1
\]
per ogni funzione \(u\in C([a,b])\cap C^1(]a,b[)\) con \(u(a)=0=u(b)\).
2. Dimostrare poi che:
\[ \tag{2}
\| u\|_2 \leq \frac{b-a}{2}\ \| u^\prime\|_2
\]
per ogni funzione soddisfacente le stesse ipotesi fatte in 1.
Siano \(a
\begin{split}
\| u\|_1 &= \int_a^b |u(x)|\ \text{d} x \\
\| u\|_2 &= \sqrt{\int_a^b |u(x)|^2\ \text{d} x}\\
\| u\|_\infty &= \max_{x\in [a,b]} |u(x)|
\end{split}
\]
per ogni funzione \(u\in C([a,b])\).
1. Dimostrare che:
\[ \tag{1}
\| u\|_\infty \leq \frac{1}{2}\ \|u^\prime \|_1
\]
per ogni funzione \(u\in C([a,b])\cap C^1(]a,b[)\) con \(u(a)=0=u(b)\).
2. Dimostrare poi che:
\[ \tag{2}
\| u\|_2 \leq \frac{b-a}{2}\ \| u^\prime\|_2
\]
per ogni funzione soddisfacente le stesse ipotesi fatte in 1.
Risposte
Comincio a fare il punto 1.
Grazie
Grazie
Ok, corretto. 
***
Il punto 2 è davvero banale, perciò vi lascio da dimostrare anche la seguente generalizzazione.
Innanzitutto, si ricordi che per \(p\in ]1,\infty[\) si pone:
\[
\| u\|_p := \left( \int_a^b |u(x)|^p\ \text{d} x\right)^{1/p}
\]
per ogni \(u\in C([a,b])\).
3. Siano \(p,q\in [1,\infty ]\).
Nelle stesse ipotesi per \(u\) fatte al punto 1, dimostrare che:
\[ \tag{3}
\| u\|_q \leq \frac{1}{2}\ (b-a)^{\theta}\ \| u^\prime \|_p
\]
con \(\theta =\theta (p,q):=1-\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\).
[N.B.: Quando \(p=\infty\) o \(q=\infty\) si assume, rispettivamente, che \(1/p=0\) od \(1/q=0\).]
***
Il punto 2 è davvero banale, perciò vi lascio da dimostrare anche la seguente generalizzazione.
Innanzitutto, si ricordi che per \(p\in ]1,\infty[\) si pone:
\[
\| u\|_p := \left( \int_a^b |u(x)|^p\ \text{d} x\right)^{1/p}
\]
per ogni \(u\in C([a,b])\).
3. Siano \(p,q\in [1,\infty ]\).
Nelle stesse ipotesi per \(u\) fatte al punto 1, dimostrare che:
\[ \tag{3}
\| u\|_q \leq \frac{1}{2}\ (b-a)^{\theta}\ \| u^\prime \|_p
\]
con \(\theta =\theta (p,q):=1-\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\).
[N.B.: Quando \(p=\infty\) o \(q=\infty\) si assume, rispettivamente, che \(1/p=0\) od \(1/q=0\).]
Il punto 2 è banale? Davvero? Stamattina ci ho pensato un po' su ma non ho cavato nulla... Forse non vedo qualcosa di ovvio che dovrei vedere. Grazie
Beh, bastano una semplice maggiorazione col massimo (come quando mostri che su un limitato la norma infinito controlla la norma \(p\)) ed una Cauchy-Schwarz (usata come quando mostri che su un limitato la norma \(2\) controlla la norma \(1\)).
***
Aggiungo inoltre:
4. Mostrare che la costante \(C(\infty ,1;a,b)=1/2\) è la costante ottimale in (1).
È possibile mostrare che la costante \(C(q,p;a,b)=(b-a)^{\theta(p,q)}/2\) è la costante ottimale in (3)?
***
Aggiungo inoltre:
4. Mostrare che la costante \(C(\infty ,1;a,b)=1/2\) è la costante ottimale in (1).
È possibile mostrare che la costante \(C(q,p;a,b)=(b-a)^{\theta(p,q)}/2\) è la costante ottimale in (3)?
Intanto, per concludere l'1, è sufficiente osservare che la funzione $u(x)=-x^2+x$ soddisfa le ipotesi e verifica la disuguaglianza con il segno di uguaglianza. Pertanto resta così dimostrato che $1/2$ è la costante ottimale.
Ora il 2: usando lo stesso trucchetto di sopra, posso scrivere
\[
\begin{split}
\vert u^2(x) \vert & = \left\vert \int_a^x u(s)u'(s)ds - \int_a^x u(s)u'(s)ds \right\vert \le \\
& \le \int_a^b \vert u(s)u'(s) \vert ds = \langle \vert u \vert, \vert u' \vert \rangle \le \\
&\le \vert \langle \vert u \vert, \vert u' \vert \rangle \vert \le \Vert u \Vert_2 \Vert u' \Vert_2
\end{split}
\]
da cui, per monotonia dell'integrale,
\[
\Vert u \Vert_2^2 \le (b-a) \Vert u \Vert_2 \Vert u' \Vert_2
\]
cioè
\[
\Vert u \Vert_2 \le (b-a) \Vert u' \Vert_2
\]
che è la tesi a meno di un $2$. So the question is: where is the mistake, my dear Gugo?
Ad essere sincero, comunque, non sono molto convinto dei passaggi (temo di aver fatto qualche cretinata) né ho idea di come fare per la generalizzazione al punto 3. Serve forse qualche disuguaglianza $L^p$ like (Holder, Minkowski...)?
Come al solito, grazie mille.
Ora il 2: usando lo stesso trucchetto di sopra, posso scrivere
\[
\begin{split}
\vert u^2(x) \vert & = \left\vert \int_a^x u(s)u'(s)ds - \int_a^x u(s)u'(s)ds \right\vert \le \\
& \le \int_a^b \vert u(s)u'(s) \vert ds = \langle \vert u \vert, \vert u' \vert \rangle \le \\
&\le \vert \langle \vert u \vert, \vert u' \vert \rangle \vert \le \Vert u \Vert_2 \Vert u' \Vert_2
\end{split}
\]
da cui, per monotonia dell'integrale,
\[
\Vert u \Vert_2^2 \le (b-a) \Vert u \Vert_2 \Vert u' \Vert_2
\]
cioè
\[
\Vert u \Vert_2 \le (b-a) \Vert u' \Vert_2
\]
che è la tesi a meno di un $2$. So the question is: where is the mistake, my dear Gugo?
Ad essere sincero, comunque, non sono molto convinto dei passaggi (temo di aver fatto qualche cretinata) né ho idea di come fare per la generalizzazione al punto 3. Serve forse qualche disuguaglianza $L^p$ like (Holder, Minkowski...)?
Come al solito, grazie mille.
Bella tecnica, Paolo.
Soprattutto buona l'idea di usare C-S "dentro" la dimostrazione del punto (1).
L'unica pecca è che becchi una costante un po' più grossa... Ma sono inezie.
Ad ogni modo, per la disuguaglianza (2) basta qualcosa di più semplice (i.e., la maggiorazione \(u^2(x)\leq \| u\|_\infty^2\) e la (1)).
Allo stesso modo, ma con la variante da te intuita, si ragiona per la (3).
P.S.: Ah... Nota che \(u^2(x)=2\ \int_a^x u(t)\ u^\prime(t)\ \text{d} t\). Perciò, col tuo metodo, troveresti una costante ancora un po' più grande di \(b-a\) da te segnalato.
Soprattutto buona l'idea di usare C-S "dentro" la dimostrazione del punto (1).
L'unica pecca è che becchi una costante un po' più grossa... Ma sono inezie.
Ad ogni modo, per la disuguaglianza (2) basta qualcosa di più semplice (i.e., la maggiorazione \(u^2(x)\leq \| u\|_\infty^2\) e la (1)).
Allo stesso modo, ma con la variante da te intuita, si ragiona per la (3).
P.S.: Ah... Nota che \(u^2(x)=2\ \int_a^x u(t)\ u^\prime(t)\ \text{d} t\). Perciò, col tuo metodo, troveresti una costante ancora un po' più grande di \(b-a\) da te segnalato.
"gugo82":
Bella tecnica, Paolo.
Soprattutto buona l'idea di usare C-S "dentro" la dimostrazione del punto (1).
L'unica pecca è che becchi una costante un po' più grossa... Ma sono inezie.
Grazie Gugo, sono contento che ti sia piaciuto (il merito è tutto dei miei "maestri" - e non intento tanto i docenti universitari, ma anche amici da cui imparo molto seguendo un certo forum...
). "gugo82":
Ad ogni modo, per la disuguaglianza (2) basta qualcosa di più semplice (i.e., la maggiorazione \(u^2(x)\leq \| u\|_\infty^2\) e la (1)).
Allo stesso modo, ma con la variante da te intuita, si ragiona per la (3).
Oh, bella! Molto semplice e pulita
"gugo82":
P.S.: Ah... Nota che \(u^2(x)=2\ \int_a^x u(t)\ u^\prime(t)\ \text{d} t\). Perciò, col tuo metodo, troveresti una costante ancora un po' più grande di \(b-a\) da te segnalato.
Dici? Ma i $2$ non si semplificano? Dalla somma degli integrali si ottiene $2u^2(x)$, quindi il 2 a primo membro dovrebbe cancellarsi con i "due" 2 che escono dalla derivazione... ti torna?
Grazie di tutto.
Per la (3)... Occhio che \(q\) non è il coniugato di \(p\) qui!
[Questa è una di quelle cose che cerco di evitare, cioè denotare (come sul Rudin) gli esponenti coniugati con \(p\) e \(q\)... Ultimamente sto preferendo un sacco la notazione \(p^\prime\) per il coniugato di \(p\). Infatti così si evita ogni possibile confusione, si mette in risalto il fatto che il coniugato dipende solo da \(p\) ed, inoltre, è pure più bella la relazione \((L^p)^\prime = L^{p^\prime}\)!
]
Per l'altro fatto, sì, hai ragione, sommando i due si semplificano.
[Questa è una di quelle cose che cerco di evitare, cioè denotare (come sul Rudin) gli esponenti coniugati con \(p\) e \(q\)... Ultimamente sto preferendo un sacco la notazione \(p^\prime\) per il coniugato di \(p\). Infatti così si evita ogni possibile confusione, si mette in risalto il fatto che il coniugato dipende solo da \(p\) ed, inoltre, è pure più bella la relazione \((L^p)^\prime = L^{p^\prime}\)!
]Per l'altro fatto, sì, hai ragione, sommando i due si semplificano.
"gugo82":
Per la (3)... Occhio che \(q\) non è il coniugato di \(p\) qui!
Eh già, bastava fare i conti giusti, cioè con gli esponenti coniugati giusti
Ora resta aperta solo più la questione sulla migliore costante in 3: non mi viene in mente nessuna funzione che faccia al caso nostro, anche perché gli integrali da calcolare potrebbero essere ostici. Continuo a pensarci. Grazie.
Stavo pensando all'uguaglianza in (3): in particolare, pensavo al fatto che forse non è proprio banale/immediata, anzi...
Ti dico come avevo pensato di fare.
Poi, però mi sono reso conto che di guess comodi ed educati forse non ne avrei trovati...
Ti dico come avevo pensato di fare.
Poi, però mi sono reso conto che di guess comodi ed educati forse non ne avrei trovati...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo