[EX] - Disuguaglianza simil AM-GM

[Sk_Anonymous]

Esercizio. Sia \(0 \le p \le 2\).
i) Provare che esiste una costante \(0 ii) Calcolare la più piccola costante \(C_p\) che renda vera la disuguaglianza precedente.

Svolgimento.
i) Passando alle consuete coordinate polari \(x=r \cos \vartheta \), \(y=r \sin \vartheta \) con \( r > 0\) e \(\vartheta \in [0,2\pi)\) osservo che \[\frac{|x|^p |y|^{2-p}}{|x^2 + y^2|}=\frac{|r|^p |\cos \vartheta|^p |r|^{2-p} |\sin \vartheta|^{2-p}}{|r|^2}=|\cos \vartheta|^p |\sin \vartheta|^{2-p}<1\]
Visto che è \(p \ge 0 \), \( 2-p \ge 0\). Questo prova che \[|x|^p |y|^{2-p} \le |x^2 + y^2| \quad \forall \ p\]

ii) Per trovare la migliore costante (in questo caso dipendente da \(p\)) mi sono servito dei moltiplicatori di Lagrange. Dopo aver fatto due o tre tentativi ho optato per vincolare i punti sulle circonferenze concentriche che parametrizzano il piano, cioè di imporre \(x^2 + y^2 = c^2\): infatti posto \(h(x,y)=x^2 + y^2 - c^2 \) e considerato l'insieme \[M=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ h(x,y)=0\}\] si osserva che \(M\) è un compatto e che \(M \setminus \{0\}\) è una sottovarietà differenziale (ometto la prova di questi fatti). Posto \(g(x,y)=x^p y^{2-p}\) (ho tolto i moduli perché, d'ora in poi, considererò \(x>0\), \(y>0\)... Gli altri casi si discutono in maniera identica) procedo alla risoluzione di \[ \begin{cases} \nabla g(x,y) = \lambda \nabla h(x,y) \\ h(x,y)=0 \end{cases} \] per trovare i massimi vincolati. Si ha pertanto \[\begin{cases} px^{p-1}y^{2-p}=\lambda 2x \\ (2-p)x^p y^{1-p} = \lambda 2y \\ x^2 + y^2 = c^2 \end{cases} \quad \rightarrow \quad \begin{cases} \frac{p}{2}x^{p-2}y^{2-p}=\lambda \\ \frac{2-p}{2}x^p y^{-p} = \lambda \\ x^2 + y^2 = c^2 \end{cases}\]
Ne ricavo pertanto \[\frac{p}{2}x^{p-2}y^{2-p} - \frac{2-p}{2}x^p y^{-p}=x^{p-2}y^{2-p} \left(\frac{p}{2} - \frac{2-p}{2}x^2 y^{-2} \right) = 0\] donde \[x^2 = \frac{p}{2-p} y^2\] visto che avevo assunto \((x,y) \ne (0,0)\). Saltando tutti i conti intermedi arrivo ad ottenere \[y=c \sqrt{\frac{2-p}{2}} \quad \text{e} \quad x=c\sqrt{\frac{p}{2}} \] e quindi sarà \[ x^p y^{2-p} \le c^2 \left(\frac{p}{2-p} \right)^{p/2} \left( \frac{2-p}{2} \right)=(x^2 + y^2)\left(\frac{p}{2-p} \right)^{p/2} \left( \frac{2-p}{2} \right) \]
La verifica che quello trovato è proprio un massimo l'ho fatta a posteriori: preso infatti \(p=1\) si ottiene \(\text{AM-GM}\), ma la generalità della risoluzione dovrebbe permettere di concludere che quella disuguaglianza vale per tutti i \(p\).
Volendo trovare la migliore costante "universale", c'è da studiarsi la funzione \(\varphi:[0,2] \to \mathbb{R}\) definita da \[\varphi(p)=\left(\frac{p}{2-p} \right)^{p/2} \left( \frac{2-p}{2} \right)\]

Modulo conti, vi pare un procedimento ragionevole?

Ringrazio.

[totissimus]

Non è più sbrigativo massimizzare la funzione $f(\vartheta)= \cos(\vartheta)^p sin(\vartheta)^{2-p}$ ?

[Sk_Anonymous]

In effetti ci avevo pensato (anche se non ho fatto i calcoli), ma alla fine ho optato per i moltiplicatori, visto che volevo esercitarmi un po' con quelli.

Comunque, salvo vie più brevi e conti, ti sembra corretto il procedimento?

[gugo82]

Il procedimento mi pare corretto.

Se si vuole procedere come consiglia totissimus, basta ragionare come segue.

Per trovare la migliore costante basta massimizzare:
\[
f(\vartheta) := \cos^p \vartheta\ \sin^{2-p} \vartheta
\]
per \(\vartheta \in [0,\pi/2]\).
Dato che \(f\) è nonnegativa, massimizzare \(f\) equivale a massimizzare \(f^2\), ossia a trovare gli estremi di:
\[
f^2(\vartheta) := \left(\cos^2 \vartheta\right)^p\ \left(\sin^2 \vartheta\right)^{2-p} = \left( 1-\sin^2 \vartheta \right)^p\ (\sin^2 \vartheta)^{2-p}\; ,
\]
ovvero, introdotta la variabile ausiliaria \(t=\sin^2 \vartheta\), a massimizzare:
\[
g(t):= (1-t)^p\ t^{2-p}
\]
per \(t\in [0,1]\).
Ma è:
\[
g^\prime (t) = (1-t)^{p-1}\ t^{1-p} (2-p-2t)
\]
sicché \(g^\prime (t)\geq 0\) [risp. \(\leq 0\)] se e solo se \(0< t\leq \frac{2-p}{2}\) [risp. \(\frac{2-p}{2} \leq t < 1\)]; conseguentemente:
\[
\begin{split}
\max_{\vartheta \in [0,\pi/2]} f^2(\vartheta) &= \max_{t\in [0,1]} g(t) \\
&= g\left( \frac{2-p}{2}\right) \\
&= \left( \frac{p}{2} \right)^p\ \left( \frac{2-p}{2} \right)^{2-p} \\
&= \left( \frac{2-p}{2}\right)^2\ \left( \frac{p}{2-p}\right)^p
\end{split}
\]
e dunque:
\[
C(p):= \max_{\vartheta \in [0,\pi/2]} f(\vartheta) = \sqrt{\left( \frac{2-p}{2}\right)^2\ \left( \frac{p}{2-p}\right)^p} = \frac{2-p}{2}\ \left( \frac{p}{2-p}\right)^{p/2}\; .
\]
Nota che \(C(1)=1/2\) come ti aspetti, perché vale la disuguaglianza tra media geometrica e media quadratica.

Inoltre, l'uguaglianza è presa in corrispondenza dei vettori \((x,y)=r(\pm \sqrt{p/2}, \pm \sqrt{1-p/2})\) con \(r>0\), quindi \(C(p)\) è la migliore costante nella tua disuguaglianza.

[Sk_Anonymous]

Grazie gugo!

[gugo82]

Altra via, forse più semplice.

Per quanto detto sopra, si possono prendere \(x,y>0\).
Dividendo m.a.m. per \(y^2\) e ponendo \(t:=x/y\), si vede che provare la disuguaglianza assegnata è del tutto equivalente a provare che la funzione:
\[
\psi (t) := \frac{t^p}{(t^2+1)}
\]
è limitata dall'altro per \(t\in ]0,\infty[\).
Ma si ha:
\[
\psi^\prime (t) = \frac{pt^{p-1} (t^2+1)-2t^{p+1}}{(t^2+1)^2} = \frac{t^{p-1}}{(t^2+1)^2}\ (p-(2-p)t^2)
\]
sicché \(\psi\) cresce [risp. decresce] in \(]0,\sqrt{\frac{p}{2-p}}]\) [risp. in \([\sqrt{\frac{p}{2-p}} ,\infty[\)]; conseguentemente:
\[
\psi (t)\leq \psi \left( \sqrt{\frac{p}{2-p}} \right)\; ,
\]
con l'ultimo valore che dovrebbe coincidere con \(C(p)\) determinato sopra.

In maniera del tutto analoga si dimostra che:

Per \(0< p\leq q\) risulta:
\[
\tag{*}
x^p\ y^{q-p}\leq C\ (x^q + y^q)
\]
per ogni \(x,y\geq 0\), con \(C>0\) costante opportuna.
In particolare, la migliore costante in (*) è:
\[
C(p,q)= \frac{q-p}{q}\ \left( \frac{p}{q-p}\right)^{p/q}
\]
e nella (*) con \(C=C(p,q)\) vale l'uguaglianza solo se:
\[
x>0 \quad \text{e} \quad y= \left( \frac{q}{p} -1\right)^{1/q}\ x\; .
\]