[EX] Disuguaglianza facile

[gugo82]

Usualmente, la disuguaglianza di Bernoulli:
\[
\forall x > -1,\quad (1+x)^n \geq 1 + nx
\]
è una delle prime disuguaglianze "celebri" ad essere dimostrata in un corso di Analisi, e la dimostrazione per ogni $n\in NN$ si fa sfruttando il Principio di Induzione.
Tuttavia, la disuguaglianza è vera anche per esponenti presi in un insieme più vasto di $NN$.

***

Esercizio:

Dimostrare che:
\[
\forall x > -1,\quad (1+x)^\alpha \geq 1 + \alpha x
\]
per ogni $\alpha in ]-oo,0] uu [1,+oo[$.

[Reyzet]

La funzione $f(x)=(1+x)^\alpha$ è derivabile infinite volte per $-1=1+\alpha x$, essendo che $\alpha(\alpha-1)>=0$ per le limitazioni su $\alpha$, e questo per tutti gli x dell'insieme.
Se ci limitiamo a $x>=0$ addirittura vale $(1+x)^\alpha>=1+\alpha x+\alpha(\alpha-1)x^2/2$

[Mathita]

Risposta semiseria.

Poiché $f(x)=(1+x)^\alpha$ è due volte derivabile in $(-1,+\infty)$ e poiché $f''(x)\ge 0$ sotto i vincoli imposti, allora $f(x)$ è convessa nel dominio, per cui il suo grafico sovrasta la retta tangente in $(x_0,f(x_0))$, al variare di $x_0> -1$. Notevole è la retta tangente nel punto di ascissa $x_0=0, y=1+\alpha x$, con la quale concludo che $(1+x)^{\alpha}\ge 1+\alpha x$ per ogni $x> -1$.

Scusate, non ho resistito.

[gugo82]

@ Mathita: Brav. È la risposta che avevo in mente (ed è il modo in cui mi ricordo la Bernoulli, che è una disuguaglianza di convessità fondamentalmente).

Ed ora un paio di cose più simpatiche.

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Esercizio:

1. Provare che, per ogni $n in NN$, comunque si scelgano $x_1, ..., x_n > -1$ aventi tutti lo stesso segno (cioè, o tutti $>=0$ o tutti $<=0$) risulta:
\[
\prod_{k=1}^n (1 + x_k) \geq 1 + \sum_{k = 1}^n x_k\;.
\]

2. Provare che la disuguaglianza di Bernoulli implica la disuguaglianza (AMGM) tra media aritmetica e media geometrica, cioè:
\[
\frac{1}{n}\ \sum_{k=1}^n x_k \geq \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n x_k}
\]
valida per ogni $n in NN$ ed ogni scelta di $x_1, ..., x_n >= 0$.

Posto $A_n := \frac{1}{n}\ \sum_{k=1}^n x_k$ e $G_n := root(n)(\prod_{k=1}^n x_k)$, usare $x=A_n/A_(n-1) - 1$ nella disuguaglianza di Bernoulli e poi ragionare per ricorrenza.