EX. Dimostrazione per induzione.
Risposte
Tentativi tuoi?
Ciao rando,
Innanzitutto riscriverei il tuo problema usando le formule, come prescritto dal regolamento, invece di usare link ad immagini che poi magari con l'andare del tempo si perdono... Te lo riscrivo io, così poi puoi modificare il tuo OP eliminando il link ed inserendo ciò che sto per scriverti usando Pulsante destro del mouse > Show Math As > AsciiMath Input e copiando il contenuto della formula nella finestra che appare fra due simboli di \$... \$.
1. Provare per induzione che la proposizione
$ sum_{k=1}^n sin k = frac{sin(frac{n}{2}) sin(frac{n+1}{2})}{sin(frac{1}{2})} $
è vera $\AA n \ge 1$.
Beh, si vede subito che è vera per $n = 1$. Ora, posto che sia vera per $n = h $, devi dimostrare che è vera per $n = h + 1 $. Prova... Anzi, fossi in te proverei di più, e cioè che
[tex]\begin{equation}
\boxed{\sum_{k=0}^n \sin(k\theta) = \dfrac{\sin\bigg(\dfrac{n\theta}{2}\bigg) \sin\bigg[\dfrac{(n+1)\theta}{2}\bigg]}{\sin\bigg(\dfrac{\theta}{2}\bigg)}}
\end{equation}[/tex]
che per $\theta = 1 $ diventa quella dell'esercizio che hai proposto e può essere dimostrata in diversi modi, fra i quali onestamente quello per induzione lo sceglierei per ultimo...
Innanzitutto riscriverei il tuo problema usando le formule, come prescritto dal regolamento, invece di usare link ad immagini che poi magari con l'andare del tempo si perdono... Te lo riscrivo io, così poi puoi modificare il tuo OP eliminando il link ed inserendo ciò che sto per scriverti usando Pulsante destro del mouse > Show Math As > AsciiMath Input e copiando il contenuto della formula nella finestra che appare fra due simboli di \$... \$.
1. Provare per induzione che la proposizione
$ sum_{k=1}^n sin k = frac{sin(frac{n}{2}) sin(frac{n+1}{2})}{sin(frac{1}{2})} $
è vera $\AA n \ge 1$.
Beh, si vede subito che è vera per $n = 1$. Ora, posto che sia vera per $n = h $, devi dimostrare che è vera per $n = h + 1 $. Prova... Anzi, fossi in te proverei di più, e cioè che
[tex]\begin{equation}
\boxed{\sum_{k=0}^n \sin(k\theta) = \dfrac{\sin\bigg(\dfrac{n\theta}{2}\bigg) \sin\bigg[\dfrac{(n+1)\theta}{2}\bigg]}{\sin\bigg(\dfrac{\theta}{2}\bigg)}}
\end{equation}[/tex]
che per $\theta = 1 $ diventa quella dell'esercizio che hai proposto e può essere dimostrata in diversi modi, fra i quali onestamente quello per induzione lo sceglierei per ultimo...
"pilloeffe":
...
che per $\theta = 1 $ diventa quella dell'esercizio che hai proposto e può essere dimostrata in diversi modi, fra i quali onestamente quello per induzione lo sceglierei per ultimo...
Io sono riuscito a dimostrare entrambe le forme (la tua e la sua) con il metodo di induzione e, almeno per come lo svolta io, è un po laboriosa, mi chiedo quindi quali siano quelle altre dimostrazioni che dici...
Ciao CaMpIoN,
1° metodo: con le formule di prostaferesi
$ 2 sin(frac{\alpha - \beta}{2}) sin(frac{\alpha + \beta}{2}) = cos\beta - cos\alpha $
Posto $\beta := frac{(2k - 1)\theta}{2} $ e $\alpha := frac{(2k + 1)\theta}{2} $, si ha:
$ 2 sin(frac{\theta}{2}) sin(k\theta) = cos frac{(2k - 1)\theta}{2} - cos frac{(2k + 1)\theta}{2} $
Se ora si somma per $k$ da $1$ a $n$, si trova:
$ 2 sin(frac{\theta}{2}) sum_{k = 1}^{n} sin(k\theta) = sum_{k = 1}^{n}[cos frac{(2k - 1)\theta}{2} - cos frac{(2k + 1)\theta}{2}] $
Quella sulla destra è una somma telescopica che vale $cos(\theta/2) - cos[frac{(2n + 1)\theta}{2}] $, per cui, facendo nuovamente uso delle formule di prostaferesi, si ha:
$ 2 sin(frac{\theta}{2}) sum_{k = 1}^{n} sin(k\theta) = 2 sin(frac{n\theta}{2}) sin[frac{(n + 1)\theta}{2}]$
da cui l'asserto dividendo per $2 sin(\theta/2) $. E' indifferente che la somma parta da $k = 0 $ o da $k = 1 $, tanto il termine per $k = 0 $ è nullo.
2° metodo: ricordando che $e^{ik\theta} = cos(k\theta) + i sin(k\theta) \implies sin(k\theta) = Im(e^{ik\theta})$, si ha:
$ sum_{k = 0}^{n} sin(k\theta) = Im sum_{k = 0}^{n} e^{ik\theta} = Im[frac{e^{i(n + 1)\theta} - 1}{e^{i\theta} - 1}] = Im[frac{e^{i(n + 1)\theta/2}(e^{i(n + 1)\theta/2} - e^{-i(n + 1)\theta/2})}{e^{i\theta/2}(e^{i\theta/2} - e^{-i\theta/2})}] = $
$ = Im[frac{e^{i n\theta/2} \cdot 2i sin frac{(n + 1)\theta}{2}}{2i sin (\theta/2)}] = Im[e^{i n\theta/2} \cdot frac{sin frac{(n + 1)\theta}{2}}{sin (\theta/2)}] = Im[(cos frac{n\theta}{2} + i sin frac{n\theta}{2}) \cdot frac{sin frac{(n + 1)\theta}{2}}{sin (\theta/2)}] = $
$ = frac{sin(frac{n\theta}{2}) sin[frac{(n+1)\theta}{2}]}{sin(frac{\theta}{2})} $
come volevasi dimostrare. Osservando che $ cos(k\theta) = Re(e^{ik\theta})$, con lo stesso sistema si può determinare anche $ sum_{k = 0}^{n} cos(k\theta) = Re sum_{k = 0}^{n} e^{ik\theta} = Re[frac{e^{i(n + 1)\theta} - 1}{e^{i\theta} - 1}] = frac{cos(frac{n\theta}{2}) sin[frac{(n+1)\theta}{2}]}{sin(frac{\theta}{2})} $
1° metodo: con le formule di prostaferesi
$ 2 sin(frac{\alpha - \beta}{2}) sin(frac{\alpha + \beta}{2}) = cos\beta - cos\alpha $
Posto $\beta := frac{(2k - 1)\theta}{2} $ e $\alpha := frac{(2k + 1)\theta}{2} $, si ha:
$ 2 sin(frac{\theta}{2}) sin(k\theta) = cos frac{(2k - 1)\theta}{2} - cos frac{(2k + 1)\theta}{2} $
Se ora si somma per $k$ da $1$ a $n$, si trova:
$ 2 sin(frac{\theta}{2}) sum_{k = 1}^{n} sin(k\theta) = sum_{k = 1}^{n}[cos frac{(2k - 1)\theta}{2} - cos frac{(2k + 1)\theta}{2}] $
Quella sulla destra è una somma telescopica che vale $cos(\theta/2) - cos[frac{(2n + 1)\theta}{2}] $, per cui, facendo nuovamente uso delle formule di prostaferesi, si ha:
$ 2 sin(frac{\theta}{2}) sum_{k = 1}^{n} sin(k\theta) = 2 sin(frac{n\theta}{2}) sin[frac{(n + 1)\theta}{2}]$
da cui l'asserto dividendo per $2 sin(\theta/2) $. E' indifferente che la somma parta da $k = 0 $ o da $k = 1 $, tanto il termine per $k = 0 $ è nullo.
2° metodo: ricordando che $e^{ik\theta} = cos(k\theta) + i sin(k\theta) \implies sin(k\theta) = Im(e^{ik\theta})$, si ha:
$ sum_{k = 0}^{n} sin(k\theta) = Im sum_{k = 0}^{n} e^{ik\theta} = Im[frac{e^{i(n + 1)\theta} - 1}{e^{i\theta} - 1}] = Im[frac{e^{i(n + 1)\theta/2}(e^{i(n + 1)\theta/2} - e^{-i(n + 1)\theta/2})}{e^{i\theta/2}(e^{i\theta/2} - e^{-i\theta/2})}] = $
$ = Im[frac{e^{i n\theta/2} \cdot 2i sin frac{(n + 1)\theta}{2}}{2i sin (\theta/2)}] = Im[e^{i n\theta/2} \cdot frac{sin frac{(n + 1)\theta}{2}}{sin (\theta/2)}] = Im[(cos frac{n\theta}{2} + i sin frac{n\theta}{2}) \cdot frac{sin frac{(n + 1)\theta}{2}}{sin (\theta/2)}] = $
$ = frac{sin(frac{n\theta}{2}) sin[frac{(n+1)\theta}{2}]}{sin(frac{\theta}{2})} $
come volevasi dimostrare. Osservando che $ cos(k\theta) = Re(e^{ik\theta})$, con lo stesso sistema si può determinare anche $ sum_{k = 0}^{n} cos(k\theta) = Re sum_{k = 0}^{n} e^{ik\theta} = Re[frac{e^{i(n + 1)\theta} - 1}{e^{i\theta} - 1}] = frac{cos(frac{n\theta}{2}) sin[frac{(n+1)\theta}{2}]}{sin(frac{\theta}{2})} $
Molto interessante, grazie 
"CaMpIoN":
Molto interessante
Grazie!
"CaMpIoN":
grazie
Prego!
Non escludo che vi possano essere altri modi di dimostrare la relazione proposta oltre a quello per induzione: quest'ultimo l'ho intenzionalmente omesso perché avrei voluto che ci si cimentasse l'autore dell'OP, come da invito di gugo82...
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