EX: Dimostrare la convergenza uniforme di una successione
Salve a tutti,
avrei questo esercizio da proporre.
Sia data la seguente successione di funzioni, dimostrare che essa converge uniformemente in $ (0, +oo) $
$ f_n(x)=(nx)/((1+nx)(x^2+1)) $
Prima di tutto ho calcolato la funzione limite di date successione di funzioni per vedere se convergeva puntualmente e ho trovato:
$f(x)=1/(x^2+1)$
Adesso per vedere se converge uniformemente devo verificare che:
$ lim_(n -> +oo) Sup (|f_n(x)-f(x)|) = 0 $
In seguito mi sono calcolato la derivata di $ |f_n(x)-f(x)| $ e l'ho posta uguale a 0
Ma mi sono trovato di fronte a:
$3nx^2+2x+n=0$
Che è impossibile, quindi il sup non dipende dal valore di x.
Cosa posso concludere con questo?
Grazie in anticipo
avrei questo esercizio da proporre.
Sia data la seguente successione di funzioni, dimostrare che essa converge uniformemente in $ (0, +oo) $
$ f_n(x)=(nx)/((1+nx)(x^2+1)) $
Prima di tutto ho calcolato la funzione limite di date successione di funzioni per vedere se convergeva puntualmente e ho trovato:
$f(x)=1/(x^2+1)$
Adesso per vedere se converge uniformemente devo verificare che:
$ lim_(n -> +oo) Sup (|f_n(x)-f(x)|) = 0 $
In seguito mi sono calcolato la derivata di $ |f_n(x)-f(x)| $ e l'ho posta uguale a 0
Ma mi sono trovato di fronte a:
$3nx^2+2x+n=0$
Che è impossibile, quindi il sup non dipende dal valore di x.
Cosa posso concludere con questo?
Grazie in anticipo
Risposte
attento alla somma puntuale $f(x)$
Si scusa hai ragione, ma ho sbagliato a scrivere la successione iniziale...ora aggiusto
sei sicuro che ti viene chiesto di dimostrare la convergenza uniforme?
Certo
"kotek":
In seguito mi sono calcolato la derivata di $ |f_n(x)-f(x)| $ e l'ho posta uguale a 0
Ma mi sono trovato di fronte a:
$3nx^2+2x+n=0$
Che è impossibile, quindi il sup non dipende dal valore di x.
Cosa posso concludere con questo?
Che la quantità $|f_n(x)-f(x)|$ è sempre decrescente e quindi il superiore va cercato nei punti di bordo; siccome abbiamo un intervallo aperto vai a fare $lim_(x->0+) f_n(x) $. Non è vero quello che dici riguardo al fatto che non dipende dal valore di $x$, dove l'hai sentita questa?
Però mi pare strano che l'esercizio ti chieda di dimostrare una cosa non vera: il $Sup_{x in (0,+oo) } 1/((1+nx)(x^2+1)) = 1$ per ogni $n$.
La convergenza potrebbe invece diventare uniforme se consideri intervalli del tipo $[a,+oo)$ quando $a>0$.
e cosa cambia tra definire un intervallo $(0, +oo)$ e $[a,+oo)$ con $a>0$?
Beh ti sembrano lo stesso intervallo?
Comunque se consideri un intervallo $[a,+oo)$ $a>0$ puoi dire che:
$Sup_{x in [a,+oo)} 1/((1+nx)(x^2+1)) <= 1/((1+na)(a^2+1)) $ proprio perchè la derivata di quella funzione è negativa sempre.
Se non escludi un intorno destro dell'origine questa maggiorazione non è più vera.
Si dimostra facilmente che se una successione di funzioni converge uniformemente in un dato intervallo $I$ (nel nostro caso prendiamo $(0,+oo)$ ) e puntualmente in un numero finito di punti esterni $x_1,x_2,..,x_k$ a questo intervallo (nel nostro caso prendiamo $x=0$, dove la convergenza puntuale c'è), allora la convergenza è uniforme anche sull'intervallo $E = I uu {x_1,..,x_n}$ (nel nostro caso avremmo quindi convergenza uniforme anche su $[0,+oo)$, cosa non vera in modo molto più palese di quanto non lo sia per l'intervallo $(0,+oo)$ ).
Comunque se consideri un intervallo $[a,+oo)$ $a>0$ puoi dire che:
$Sup_{x in [a,+oo)} 1/((1+nx)(x^2+1)) <= 1/((1+na)(a^2+1)) $ proprio perchè la derivata di quella funzione è negativa sempre.
Se non escludi un intorno destro dell'origine questa maggiorazione non è più vera.
Si dimostra facilmente che se una successione di funzioni converge uniformemente in un dato intervallo $I$ (nel nostro caso prendiamo $(0,+oo)$ ) e puntualmente in un numero finito di punti esterni $x_1,x_2,..,x_k$ a questo intervallo (nel nostro caso prendiamo $x=0$, dove la convergenza puntuale c'è), allora la convergenza è uniforme anche sull'intervallo $E = I uu {x_1,..,x_n}$ (nel nostro caso avremmo quindi convergenza uniforme anche su $[0,+oo)$, cosa non vera in modo molto più palese di quanto non lo sia per l'intervallo $(0,+oo)$ ).
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