Ex - Differenziabilità (due variabili)
Consideriamo $f(x,y) = sqrt( | x * y |)$ , $(x,y) in RR^2$. Devo provare che questa funzione non è differenziabile in $(0,0)$.
Svolgimento:
La mia idea è la seguente: il candidato "giusto" per essere il differenziale della $f$ è il differenziale di Gateaux $(0,0)$, cioè:
$f'(0,0)[h] = lim_(t -> 0^+) ( f((0,0) + t(h_1 , h_2)) - f(0,0) )/t = sqrt( |h_1 h_2 |)$ , dove $(h_1, h_2) = h in RR^2$ è un versore.
Non essendo questo un operatore lineare, posso concludere subito che non può essere differenziabile, giusto?
Svolgimento:
La mia idea è la seguente: il candidato "giusto" per essere il differenziale della $f$ è il differenziale di Gateaux $(0,0)$, cioè:
$f'(0,0)[h] = lim_(t -> 0^+) ( f((0,0) + t(h_1 , h_2)) - f(0,0) )/t = sqrt( |h_1 h_2 |)$ , dove $(h_1, h_2) = h in RR^2$ è un versore.
Non essendo questo un operatore lineare, posso concludere subito che non può essere differenziabile, giusto?
Risposte
Update: mi pare strano che l'esercizio si concluda così facilmente.
Guarda, sono un po' a pezzi perché ho avuto l'influenza, quindi prendi con le pinze quello che ti dico.
Perché fai tutto questo giro? Ti dico come farei io (in realtà, questi esercizi si fanno un po' tutti allo stesso modo, alla fin fine uno si riconduce a calcolare dei limiti).
E' immediato vedere (con il rapporto incrementale) che le derivate parziali di $f$ nell'origine esistono e sono nulle: [tex]\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0[/tex]. Questo significa che se la $f$ fosse differenziabile nell'origine, allora lì il differenziale dovrebbe essere l'applicazione lineare nulla. Tuttavia, in questo caso il limite
[tex]\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(0+h,0+k)-f(0,0)-hf_x(0,0)-kf_y(0,0)}{\sqrt{h^2+k^2}}=\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{\sqrt{\vert hk\vert}}{\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
dovrebbe esistere nullo.
Ma ciò è assurdo, come si può facilmente verificare (basta notare che cosa capita lungo gli assi e lungo la bisettrice, non servono nemmeno le coordinate polari).
Ti è chiaro?
P.S. Una curiosità: non avevo mai sentito parlare di derivata di Gâteaux in questo contesto: pensavo fosse una denominazione esclusiva per il calcolo differenziale in contesti più astratti (in spazi di Banach tipo gli $L^p$).
Perché fai tutto questo giro? Ti dico come farei io (in realtà, questi esercizi si fanno un po' tutti allo stesso modo, alla fin fine uno si riconduce a calcolare dei limiti).
E' immediato vedere (con il rapporto incrementale) che le derivate parziali di $f$ nell'origine esistono e sono nulle: [tex]\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0[/tex]. Questo significa che se la $f$ fosse differenziabile nell'origine, allora lì il differenziale dovrebbe essere l'applicazione lineare nulla. Tuttavia, in questo caso il limite
[tex]\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(0+h,0+k)-f(0,0)-hf_x(0,0)-kf_y(0,0)}{\sqrt{h^2+k^2}}=\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{\sqrt{\vert hk\vert}}{\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
dovrebbe esistere nullo.
Ma ciò è assurdo, come si può facilmente verificare (basta notare che cosa capita lungo gli assi e lungo la bisettrice, non servono nemmeno le coordinate polari).
Ti è chiaro?
P.S. Una curiosità: non avevo mai sentito parlare di derivata di Gâteaux in questo contesto: pensavo fosse una denominazione esclusiva per il calcolo differenziale in contesti più astratti (in spazi di Banach tipo gli $L^p$).
Intanto ti ringrazio, Paolo. Ho capito quel che dici tu.
Comunque noi abbiamo detto che una funzione $f : RR^n -> RR^m$ è differenziabile secondo Gateaux in un punto $P$ se $f '(P)$ è lineare ($f'(P)$ è l'applicazione che manda un vettore $w$ di $RR^n$ nella derivata direzionale di $f$ nel punto $P$ nella direzione di $w$).
Inoltre diciamo che $f$ è differenziabile se $f$ è differenziabile secondo Gateaux e in più vale la formula di approssimazione lineare (oppure il limite che hai scritto anche tu nel post precedente, sono condizioni equivalenti).
Quindi se verifico che $f'(P)$ non è lineare, $f$ non può essere differenziabile secondo Gateaux e quindi non può essere differenziabile.
Che ne pensi? Mi sembra coerente con le definizioni...
Comunque noi abbiamo detto che una funzione $f : RR^n -> RR^m$ è differenziabile secondo Gateaux in un punto $P$ se $f '(P)$ è lineare ($f'(P)$ è l'applicazione che manda un vettore $w$ di $RR^n$ nella derivata direzionale di $f$ nel punto $P$ nella direzione di $w$).
Inoltre diciamo che $f$ è differenziabile se $f$ è differenziabile secondo Gateaux e in più vale la formula di approssimazione lineare (oppure il limite che hai scritto anche tu nel post precedente, sono condizioni equivalenti).
Quindi se verifico che $f'(P)$ non è lineare, $f$ non può essere differenziabile secondo Gateaux e quindi non può essere differenziabile.
Che ne pensi? Mi sembra coerente con le definizioni...
Ma non è possibile che \(f'(P)\) non sia lineare, Seneca. C'è qualcosa che non quadra.
Ma io devo dimostrare che NON E' differenziabile... Quindi quello è il mio assurdo.
No Seneca, forse non hai capito cosa intende dissonance: se $f'(P)$ è la cosa che dici tu, è lineare per definizione! Quindi lo è sempre. Ergo c'è qualcosa che non quadra nella tua definizione di differenziabile secondo Gateaux.
"ciampax":
No Seneca, forse non hai capito cosa intende dissonance: se $f'(P)$ è la cosa che dici tu, è lineare per definizione! Quindi lo è sempre. Ergo c'è qualcosa che non quadra nella tua definizione di differenziabile secondo Gateaux.
Io ho definito la derivata direzionale di $f$ in $P$ nella direzione $w in RR^n$ in questa maniera qui:
$f'(P)[w] = lim_(t -> 0^+) (f(P + tw) - f(P))/t$
Ma questa non è affatto detto che $f'(P)$ sia un'applicazione lineare... Per esempio nel caso esposto sopra...
Se lo è, allora si chiama diff. di Gateaux.
Dove sbaglio?
Non è \(f^\prime (P)\) a dover essere lineare in \(P\), ma \(f^\prime(P)[w]\) ad essere lineare in \(w\).
Sì, scusatemi. Non sono stato sufficientemente chiaro.
Con $f '(P)$ intendevo l'applicazione $f'(P)[w]$ ...
Quindi posso concludere che, non essendo $f'(P)[w]$ lineare in $w = (w_1 , w_1)$, la funzione non è differenziabile nel punto $P$?
Con $f '(P)$ intendevo l'applicazione $f'(P)[w]$ ...
Quindi posso concludere che, non essendo $f'(P)[w]$ lineare in $w = (w_1 , w_1)$, la funzione non è differenziabile nel punto $P$?
In sostanza per questo esercizio c'erano due modi apparentemente diversi di procedere.
1) Verificare che $f'(P)[w]$ non dipende linearmente da $w_1 , w_2$ , dove $w = (w_1 , w_2)$.
2) Ciò che ha scritto Paolo; si trovano le derivate parziali (un caso particolare di derivata direzionale) e si suppone che esista il differenziale in $P$. Allora questo è $f'(P)[w] = < grad f (P) , w>$ (che nel caso considerato è $0$). Infine si verifica che non vale la formula: $f(P + h) = f(P) + f'(P)[h] + o(|h|)$.
Giusto?
1) Verificare che $f'(P)[w]$ non dipende linearmente da $w_1 , w_2$ , dove $w = (w_1 , w_2)$.
2) Ciò che ha scritto Paolo; si trovano le derivate parziali (un caso particolare di derivata direzionale) e si suppone che esista il differenziale in $P$. Allora questo è $f'(P)[w] = < grad f (P) , w>$ (che nel caso considerato è $0$). Infine si verifica che non vale la formula: $f(P + h) = f(P) + f'(P)[h] + o(|h|)$.
Giusto?
"Seneca":
Consideriamo $f(x,y) = sqrt( | x * y |)$ , $(x,y) in RR^2$. Devo provare che questa funzione non è differenziabile in $(0,0)$.
Svolgimento:
La mia idea è la seguente: il candidato "giusto" per essere il differenziale della $f$ è il differenziale di Gateaux $(0,0)$, cioè:
$f'(0,0)[h] = lim_(t -> 0^+) ( f((0,0) + t(h_1 , h_2)) - f(0,0) )/t = sqrt( |h_1 h_2 |)$ , dove $(h_1, h_2) = h in RR^2$ è un versore.
Non essendo questo un operatore lineare, posso concludere subito che non può essere differenziabile, giusto?
Il ragionamento è corretto .
Difatti , se supponiamo l'esistenza di $ f'(0,0) $ allora abbiamo $ f'(0,0)(h_1 , h_2) = sqrt( |h_1 h_2 |) $ come l'ha visto ;
dunque $ f'(0,0)(1 , 0) = f'(0,0) (0 , 1) = 0 $ e $ f'(0,0)(1 , 1)= 1 $ .
Cosi $ f'(0,0)( 1 , 0) + f'(0,0) (0,1)!= f'(0,0) (1,1) $ $ $ ma questo è assurdo .
Vi ringrazio per l'attenzione.
Questa cosa mi sorprende un po' e sono contento che sia stata sollevata (grazie Seneca). Difatti fino ad ora sono stato convinto che la derivata direzionale fosse sempre una funzione lineare della direzione, a prescindere dalla differenziabilità.
E invece ecco che salta fuori un controesempio: può essere che le derivate direzionali esistano ma che la funzione non sia differenziabile secondo Gateaux perché la dipendenza dalla direzione non è lineare (in dimensione infinita occorrerebbe anche controllare che la dipendenza sia continua). Buono a sapersi!
E invece ecco che salta fuori un controesempio: può essere che le derivate direzionali esistano ma che la funzione non sia differenziabile secondo Gateaux perché la dipendenza dalla direzione non è lineare (in dimensione infinita occorrerebbe anche controllare che la dipendenza sia continua). Buono a sapersi!
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