[EX] - Curve e superfici
Esercizio. Sia \(\gamma\) una curva piana con rappresentazione vincolare \(g(x,y)=0\) e si immerga \(\gamma\) in \(\mathbb{R}^3 \) con l'identificazione \(\gamma= \gamma \times \{0\} \). Si consideri il cilindro \(C\) formato da tutte le rette parallele a \(\vec{e}_3 \) e che si appoggiano alla curva \(\gamma\).
Trovare l'equazione del cilindro e dimostrare che se \(g\) è sommersiva in tutti i punti di \(\gamma\) allora il cilindro è una varietà differenziale \(2\)-dimensionale.
Trovare l'equazione del piano tangente al cilindro in un suo punto \( (x_0, y_0 , z_0) \) e le equazioni della retta tangente a \(\gamma\) in \((x_0, y_0,0 ) \).
Sia ora \(G\) il grafico di una funzione \(f(x,y)\) di classe \(\mathcal{C}^1\) definita su un aperto del piano \((x,y)\) contente la curva \( \gamma\). Dimostrare che \( \Gamma = G \cap C \) è una varietà differenziale \(1\)-dimensionale.
Svolgimento.
Sono rimasto perplesso dal fatto che non vi fossero ipotesi ulteriori sulla curva \( \gamma\) (ho sempre creduto che un cilindro dovesse avere base circolare, o al massimo ellittica), ma poi ho letto che un cilindro, in generale, si costruisce su una curva qualsiasi... Quindi, a quanto pare, anche su una cissoide.
Spero ad ogni modo di non aver interpretato male...
Anyway, l'equazione del cilindro che si appoggia su \(\gamma\) è proprio \(g(x,y)=0\).
Poi: se \(g\) è sommersiva in un punto \(p=(p_0,p_1,0)\) di \(\gamma\) (in realtà la terza coordinata di \(p\) può anche essere \(\ne 0\) visto che l'equazione di \(C\) dipende soltanto dalle prime due), allora \(g'(p)\) è suriettiva. Ne discende quindi che \[g'(p)=(g_x(p) \quad g_y(p) \quad 0)\ne (0 \quad 0 \quad 0 ) \quad \forall \ p\] cioè, considerato il rango del differenziale di \(g\), il cilindro è una sottovarietà differenziale \(2\)-dimensionale.
L'equazione del piano tangente al cilindro nel punto \((x_0, y_0, z_0)\) è \[g_x(x_0,y_0,z_0) (x-x_0) + g_y(x_0,y_0,z_0) (y-y_0) + g_z(x_0,y_0,z_0) (z-z_0)=0\] (ometto la dimostrazione di questa formula, ma si può comunque far di conto con il \(\text{ker}\) del differenziale).
Similmente si ragiona per la retta tangente a \(\gamma\) in \((x_0, y_0,0)\).
Fin qui va bene?
Ringrazio.
Edit. Corretto refuso.
Trovare l'equazione del cilindro e dimostrare che se \(g\) è sommersiva in tutti i punti di \(\gamma\) allora il cilindro è una varietà differenziale \(2\)-dimensionale.
Trovare l'equazione del piano tangente al cilindro in un suo punto \( (x_0, y_0 , z_0) \) e le equazioni della retta tangente a \(\gamma\) in \((x_0, y_0,0 ) \).
Sia ora \(G\) il grafico di una funzione \(f(x,y)\) di classe \(\mathcal{C}^1\) definita su un aperto del piano \((x,y)\) contente la curva \( \gamma\). Dimostrare che \( \Gamma = G \cap C \) è una varietà differenziale \(1\)-dimensionale.
Svolgimento.
Sono rimasto perplesso dal fatto che non vi fossero ipotesi ulteriori sulla curva \( \gamma\) (ho sempre creduto che un cilindro dovesse avere base circolare, o al massimo ellittica), ma poi ho letto che un cilindro, in generale, si costruisce su una curva qualsiasi... Quindi, a quanto pare, anche su una cissoide.
Spero ad ogni modo di non aver interpretato male...
Anyway, l'equazione del cilindro che si appoggia su \(\gamma\) è proprio \(g(x,y)=0\).
Poi: se \(g\) è sommersiva in un punto \(p=(p_0,p_1,0)\) di \(\gamma\) (in realtà la terza coordinata di \(p\) può anche essere \(\ne 0\) visto che l'equazione di \(C\) dipende soltanto dalle prime due), allora \(g'(p)\) è suriettiva. Ne discende quindi che \[g'(p)=(g_x(p) \quad g_y(p) \quad 0)\ne (0 \quad 0 \quad 0 ) \quad \forall \ p\] cioè, considerato il rango del differenziale di \(g\), il cilindro è una sottovarietà differenziale \(2\)-dimensionale.
L'equazione del piano tangente al cilindro nel punto \((x_0, y_0, z_0)\) è \[g_x(x_0,y_0,z_0) (x-x_0) + g_y(x_0,y_0,z_0) (y-y_0) + g_z(x_0,y_0,z_0) (z-z_0)=0\] (ometto la dimostrazione di questa formula, ma si può comunque far di conto con il \(\text{ker}\) del differenziale).
Similmente si ragiona per la retta tangente a \(\gamma\) in \((x_0, y_0,0)\).
Fin qui va bene?
Ringrazio.
Edit. Corretto refuso.
Risposte
Si, anche se, senza far tutti i conti, puoi trovare l'equazione del piano tangente al cilindro come generata dalla tangente preimmersione assieme ad e_3. Inoltre questo piano è il piano tangente per ogni punto del cilindro in cui fissi le prime due coordinate.
Giusto, ti ringrazio!
Concludo l'esercizio, e sarò parecchio formale (spesso forse ridondante): \(G\) sarà l'insieme di punti \[G=\{(x,y,f(x,y)) \in \mathbb{R}^3 \ | \ (x,y) \in A\} \]
con \(A\) aperto del piano \((x,y)\) che contiene \(\gamma\).
Considero ora \(\mathbb{R}^3= \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}\); con la notazione \(\bar{x}=(x,y)\) si ha che \[G=\{(\bar{x},f(\bar{x})) \in \mathbb{R}^3 \ | \ \bar{x} \in A\} \]
ed è il luogo degli zeri della funzione \(h: A \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da \[h(\bar{x},z)=z-f(\bar{x})\]E' facile vedere infine che \(G\) è una sottovarietà differenziale (\(2\)-dimensionale, mi pare - infatti \(J_h=(f_x \ f_y \ 1)\)).
Sarà quindi \[\Gamma : \begin{cases} g(\bar{x})=0 \\ h(\bar{x},z)=0 \end{cases} \]
Di nuovo considero la funzione \(k:A \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\) definita da \[\displaystyle k(\bar{x},z)=(g(\bar{x}),h(\bar{x},z)) \] \(\Gamma\) è proprio il luogo degli zeri di \(k\); osservo che \[J_k= \begin{pmatrix}g_x & g_y & 0 \\ f_x & f_y & 1 \end{pmatrix}\]
ha rango \(2\) (\(g\) è sommersiva). Quindi \(\Gamma\) è varietà \(1\)-dimensionale.
Concludo l'esercizio, e sarò parecchio formale (spesso forse ridondante): \(G\) sarà l'insieme di punti \[G=\{(x,y,f(x,y)) \in \mathbb{R}^3 \ | \ (x,y) \in A\} \]
con \(A\) aperto del piano \((x,y)\) che contiene \(\gamma\).
Considero ora \(\mathbb{R}^3= \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}\); con la notazione \(\bar{x}=(x,y)\) si ha che \[G=\{(\bar{x},f(\bar{x})) \in \mathbb{R}^3 \ | \ \bar{x} \in A\} \]
ed è il luogo degli zeri della funzione \(h: A \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da \[h(\bar{x},z)=z-f(\bar{x})\]E' facile vedere infine che \(G\) è una sottovarietà differenziale (\(2\)-dimensionale, mi pare - infatti \(J_h=(f_x \ f_y \ 1)\)).
Sarà quindi \[\Gamma : \begin{cases} g(\bar{x})=0 \\ h(\bar{x},z)=0 \end{cases} \]
Di nuovo considero la funzione \(k:A \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\) definita da \[\displaystyle k(\bar{x},z)=(g(\bar{x}),h(\bar{x},z)) \] \(\Gamma\) è proprio il luogo degli zeri di \(k\); osservo che \[J_k= \begin{pmatrix}g_x & g_y & 0 \\ f_x & f_y & 1 \end{pmatrix}\]
ha rango \(2\) (\(g\) è sommersiva). Quindi \(\Gamma\) è varietà \(1\)-dimensionale.
Uppo per domandare conferma circa quest'ultimo svolgimento.
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