[EX] Convessità...

[gugo82]

... È tenersi per mano e andare lontano, la convessità, come cantavano Al Bano e Romina Power.

Ad ogni modo, lascio il seguente esercizietto veloce.

Esercizio:

Sia \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una funzione crescente.
Dimostrare o confutare la seguente affermazione:

"La funzione integrale \(F(x):=\int_a^x f(t)\ \text{d} t\) è una funzione convessa in \([a,b]\)".


P.S.: Ricordo che le funzioni monotone sono integrabili secondo Riemann, quindi \(F\) è ben definita.

[Seneca1]

Io ho provato...

Sia $x_0 in [a,b]$. Posso scrivere l'equazione della retta tangente ad $F$ in $x_0$:

$ g(x) = F(x_0) + d/(dx) F (x_0) ( x - x_0 ) = int_a^(x_0) f(t) dt + f(x_0) * ( x - x_0 ) $

Basta provare che $g(x)$ è la retta di appoggio al grafico di $F$ nel generico punto $x_0$.

Sia $x > x_0$. Provo che $g(x) = int_a^(x_0) f(t) dt + f(x_0) ( x - x_0) <= F(x)$ (*)

$f(x_0) * ( x - x_0) <= int_a^x f(t) dt - int_a^(x_0) f(t) dt$

$f(x_0) * ( x - x_0) <= int_(x_0)^x f(t) dt = f(xi) ( x - x_0 )$ con $xi in [x_0,x]$

Ed essendo $f$ crescente, $f(x_0) <= f(xi)$ e dunque (*) è verificata $AA x > x_0$.

Sia $x < x_0$. $g(x) <= F(x)$ (si procede esattamente nella stessa maniera).

Percui $F$ è convessa.

[dissonance]

"gugo82":... È tenersi per mano e andare lontano, la convessità, come cantavano Al Bano e Romina Power.

Noo!

"La funzione integrale \(F(x):=\int_a^x f(t)\ \text{d} t\) è una funzione convessa in \([a,b]\)".

Mi è venuta una curiosità. Sarà vero che vale anche il viceversa, nel senso che le funzioni convesse su \([a, b]\) che si annullano in \(a\) sono tutte integrali di una funzione crescente?

PS:

Voglio provare anche io a risolvere l'esercizio! Io userei la caratterizzazione della convessità in termini di rapporti incrementali, ovvero vorrei dimostrare che

\[\forall a \le x < y < z \le b, \qquad \frac{F(y)-F(x)}{y-x} \le \frac{F(z)-F(y)}{z-y}.\]

Questa disuguaglianza è vera perché

\[\frac{F(y)-F(x)}{y-x} = \frac{\int_x^y f(t)\, dt}{y-x}\le f(y) = \]
\[=\frac{\int_y^z f(y)\,dt}{z-y}\le \frac{\int_y^z f(t)\, dt}{z-y}=\frac{F(z)-F(y)}{z-y}.\]

[gugo82]

@Seneca: Ricorda che la parte del Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale che vuoi applicare per calcolare \(F^\prime\) vale solo nei punti in cui \(f\) è continua; dato che \(f\) è supposta monotona, essa non è necessariamente continua dappertutto (anzi, usualmente una funzione monotona è discontinua in un insieme numerabile, quindi è continua solo q.o.), perciò il tuo ragionamento non vale per ogni \(x_0\in [a,b]\).

[Seneca1]

Mannaggia!

[Seneca1]

@dissonance: Ma è il lemma delle tre corde? Non manca un pezzo di disuguaglianza?

$<= (F(z) - F(x))/(z - x) <=$

[dissonance]

Si, è proprio il lemma delle tre corde. Quel pezzo di disuguaglianza è superfluo, Webster lo include per comodità grafica ma in realtà la sola disuguaglianza provata prima già equivale alla convessità. Difatti se \(x < y < z\) dalla disuguaglianza provata segue, portando \(F(y)\) a primo membro, la

\[F(y)\le \frac{z-y}{z-x}F(x) + \frac{y-x}{z-x}F(z), \]

che è la disuguaglianza di convessità, perché

\[y=\frac{z-y}{z-x}x+\frac{y-x}{z-x}z.\]

[Seneca1]

Interessante, non c'avevo mai pensato. Grazie del chiarimento.

[gugo82]

Esatto dissonance.
Il trucco stava proprio nell'usare la caratterizzazione della convessità in termini di rapporti incrementali crescenti.

Sfruttando quanto appena acquisito, si prova che se \(g:[a,b]\to \mathbb{R}\) è decrescente allora \(G(x):=\int_a^x g(t)\ \text{d} t\) è concava (basta prendere \(f=-g\) nell'esercizio).

[dissonance]

"dissonance":Sarà vero che le funzioni convesse su \([a, b]\) che si annullano in \(a\) sono tutte integrali di una funzione crescente?

La risposta è si. Ho trovato infatti la fonte da cui è scaturita questa curiosità: si tratta di una noticina letta di sfuggita su Inequalities (H-L-P), §6.3, pag. 129. Gli autori notano che ogni funzione convessa [size=80](*)[/size] è l'integrale della propria derivata sinistra, che esiste ovunque ed è crescente. E quindi la classe delle funzioni convesse è identica alla classe degli integrali di funzioni crescenti.

Bah, buono a sapersi!

____________
(*) Per la verità loro parlano di funzioni convesse continue, avendo adottato una definizione leggermente diversa. Con le nostre definizioni tutte le funzioni convesse sono continue tranne al più negli estremi dell'intervallo di definizione.

[gugo82]

Esercizio:

Dimostrare o confutare la seguente affermazione:

"Le uniche funzioni ad essere contemporaneamente convesse e concave sono quelle lineari; in altre parole, se \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) è convessa e concava in \([a,b]\), allora esistono due costanti \(\alpha, \beta\in \mathbb{R}\) tali che \(f(x)=\alpha x+\beta\) per \(x\in [a,b]\)."

[Seneca1]

Proviamo con questo. Secondo te può andare, Gugo?

Poiché la funzione $f$ è convessa in $[a,b]$, $AA x_1 < x < x_2$ tali che $x_1 , x , x_2 in [a,b]$ ho dunque:

$(f(x) - f(x_1))/(x - x_1) <= (f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1)$

Ma $f$ è concava in $[a,b]$, indipercui, per gli stessi punti $x_1 < x < x_2$, ho:

$- (f(x) - f(x_1))/(x - x_1) <= - (f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1)$

$(f(x) - f(x_1))/(x - x_1) >= (f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1)$

Quindi, ricapitolando, $AA [x_1 , x_2 ] subseteq [a,b]$ e $AA x in [x_1 , x_2]$, ho:

$(f(x) - f(x_1))/(x - x_1) = (f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1)$

Allora posso prendere $x_1 = a$ e $x_2 = b$, ed ottenere che $AA x in [a,b]$

$f(x) = f(a) + (f(b) - f(a))/(b - a) * (x - a)$.

[gugo82]

@Seneca: Ok!