Ex: Convergenza uniforme per una successione

[kotek]

Ciao,
ho questo esercizio da svolgere: Data la seguente successione dire se converge uniformemente:
$ f_n(x)=x^n/(n+x^(2n)) $ con x>0

Io ho calcolato il limite puntuale che è uguale a 0 per ogni x.

Adesso per la convergenza uniforme devo dimostrare che:
$ |x^n/(n+x^(2n))-0|< epsilon $

Ma non riesco a capire come..
Qualcuno mi sa' aiutare?
Grazie in anticipo

[Rigel1]

\[ \frac{x^n}{n + x^{2n}} = \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{\sqrt{n} x^n}{n + x^{2n}}\leq \frac{1}{2\sqrt{n}} .\]
Nell'ultimo passaggio si usa la disuguaglianza elementare
\[\frac{a b}{a^2+b^2}\leq \frac{1}{2}\qquad \forall (a,b)\neq (0,0).\]

[Rapsodia]

Ciao, scusate se mi intrometto ma avevo un dubbio sull'esercizio. Sono giunta allo stesso risultato cercando il massimo di $|f_n - f|$. La domanda è: il mio procedimento ha senso se l'intervallo che stiamo considerando non è chiuso e limitato ( e quindi non c'è il teorema di Weierstrass a garantirci l'esistenza del massimo)?
Grazie, ciao.

[Rigel1]

In questo caso le $|f_n-f|$ ammettono massimo; in generale devi calcolare un $"sup"$, che coincide col massimo se quest'ultimo esiste.

[Rapsodia]

Grazie mille, ciao!

[kotek]

Ciao grazie mille, vi vorrei chiedere un dubbio non riesco a capire quando devo usare questa formula:
$ |f_n(x)-f(x)|
o quando devo usare questa formula:

$ lim_(n -> +oo) s up (|f_n(x)-f(x)|) $

Sapreste spiegarmi?

[Rapsodia]

Dovrebbero essere due modi differenti per dire la stessa cosa. Cioè dire che la distanza della successione $f_n$ da $f$ sia più piccola di un $\epsilon$ arbitrariamente piccolo dovrebbe essere equivalente a dire che l'estremo superiore della successione delle $|f_n - f|$ (delle distanze) tenda a 0. Per la risoluzione degli esercizi per la dimostrazione della convergenza uniforme, penso che usare il sup sia in generale la cosa più semplice da fare, in quanto si può maggiorarlo con qualcosa che tende a 0 o trovare il massimo successione di funzioni e vedere se questo tende a 0 .

[kotek]

Ok grazie mille!!