Ex - Convergenza uniforme

[Seneca1]

Mostrare che la serie $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n/( 2 sqrt(n) + cos(x) )$ converge uniformemente su $RR$.

Vi propongo questo esercizio (da intendersi come "sfida" personale per chi volesse imbarcarsi). Purtroppo non ho molto tempo da perderci dietro, visti gli esami in avvicinamento; nei prossimi giorni ci penserò.

[Seneca1]

In realtà basta usare il criterio di Dirichlet...

[gugo82]

Spoilerizzo una possibile risposta.

Evidentemente la serie è a segni alterni per ogni fissato \(x\in \mathbb{R}\), quindi la convergenza puntuale in tutto \(\mathbb{R}\) si accomoda col criterio di Leibniz (difatti la successione di termine generale \(1/(2\sqrt{n} +\cos x)\) è nonnegativa e decrescente).

D'altra parte, il medesimo criterio fornisce la seguente stima per il resto \(N\)-esimo \(R_N(x)\) della serie:
\[
|R_N (x)| \leq \frac{1}{2\sqrt{N}+\cos x}
\]
e si vede facilmente che il secondo membro si maggiora (uniformemente rispetto a \(x\)) con la quantità \(1/(2\sqrt{N} -1)\) che è infinitesima; di qui la convergenza uniforme della serie in \(\mathbb{R}\).

[Seneca1]

Scusami del ritardo! Direi che come hai fatto tu (naturalmente) va bene. Anche meglio, visto che io non conoscevo il criterio di Dirichlet.

[gugo82]

Grazie Seneca.
Però sarei curioso di sapere come funzionava la dimostrazione con il criterio di Dirichlet.
Appena hai un po' di tempo libero, potresti postarla?
Grazie mille.

[Seneca1]

Certamente.. Ripeto comunque che è un teorema che non ho mai studiato e quindi non conosco la sua dimostrazione.
Anzi, poco fa mi sono incuriosito e sono andato a leggere sul Knopp... Ci sono un paio di varianti interessanti di questo criterio.

In ogni caso la successione delle somme parziali $sum_(n = 1)^(m) (-1)^n$ è equilimitata e inoltre si ha che $1/(sqrt(n) + cos(x))$ è una successione tendente a $0$ uniformemente rispetto ad $x$ e, comunque fissato $x$, $1/(sqrt(n) + cos(x))$ è monotona decrescente. Allora la serie di funzioni $sum (-1)^n * 1/(sqrt(n) + cos(x))$ converge uniformemente.

[gugo82]

Grazie per aver condiviso, Seneca.

Per quanto riguarda il criterio di Dirichlet, l'ho usato anch'io qui ad esempio.