[EX] CdL in Mate II° anno Funzioni implicite
Propongo questo esercizio ( 9 punti ) a mio giudizio interessante.
i) Verificare che la relazione
$ x^2+sqrt(y) -4 sqrt(x) = 7 +e^(-y) $
permette di definire un'unica funzione implicita $ y=g(x) $
ii) Determinare il dominio $E $ di $g(x)$ ,gli intervalli di monotonia, eventuali estremanti , eventuali asintoti , i limiti di $g(x) $ e di $g'(x) $ agli estremi di $E $ .
iii) Rappresentare qualitativamente il grafico di $g(x) $ .
i) Verificare che la relazione
$ x^2+sqrt(y) -4 sqrt(x) = 7 +e^(-y) $
permette di definire un'unica funzione implicita $ y=g(x) $
ii) Determinare il dominio $E $ di $g(x)$ ,gli intervalli di monotonia, eventuali estremanti , eventuali asintoti , i limiti di $g(x) $ e di $g'(x) $ agli estremi di $E $ .
iii) Rappresentare qualitativamente il grafico di $g(x) $ .
Risposte
In realtà credo serva qualche cautela... Soprattutto nell'individuare una strategia che consenta di usare il Teorema del Dini in forma "pulita", senza troppi spargimenti di sangue.
Non devo aver usato tutte le cautele necessarie perché arrivo a delle incongruenze..
Chi vuol cimentarsi, lo faccia
Chi vuol cimentarsi, lo faccia
Il punto $(4,0)$ soddisfa l'equazione, però il primo membro dell'equazione $x^2-4sqrt(x)+sqrt(y)-e^(-y)-7=0$ non soddisfa le ipotesi del Dini nei punti che hanno ascissa od ordinata nulla... Mi era venuto in mente che si potesse fare un cambiamento di variabili tipo:
\[
\begin{cases}
x=u^2\\
y=v^2
\end{cases}
\]
però non funziona.
A questo punto, l'unica cosa che mi viene in mente è che si può provare a sfruttare la stretta monotonia della funzione parziale \(y\mapsto x^2-4\sqrt{x}+\sqrt{y}-e^{-y}-7\) ed il Teorema degli Zeri per mostrare che per ogni $x>=0$ esiste un unico $y(x)>=0$ tale che \(x^2-4\sqrt{x}+\sqrt{y(x)}-e^{-y(x)}-7=0\).
\[
\begin{cases}
x=u^2\\
y=v^2
\end{cases}
\]
però non funziona.
A questo punto, l'unica cosa che mi viene in mente è che si può provare a sfruttare la stretta monotonia della funzione parziale \(y\mapsto x^2-4\sqrt{x}+\sqrt{y}-e^{-y}-7\) ed il Teorema degli Zeri per mostrare che per ogni $x>=0$ esiste un unico $y(x)>=0$ tale che \(x^2-4\sqrt{x}+\sqrt{y(x)}-e^{-y(x)}-7=0\).
In linea con quanto detto da gugo, io scriverei l'equazione implicita come \(h(x) = \varphi(y)\), con
\[
h(x) = x^2 - 4\sqrt{x} - 7,
\qquad
\varphi(y) = e^{-y} - \sqrt{y}.
\]
La funzione \(\varphi\) è strettamente monotona decrescente in \([0,+\infty)\), e si ha \(Im(\varphi) = (-\infty, 1]\).
La relazione \(h(x) = \varphi(y)\) può quindi essere invertita quando \(h(x) \in Im(\varphi)\).
La funzione \(h\) è convessa, ha un minimo per \(x=1\) e si ha \(h(x) \in Im(\varphi)\) per \(x\in [0,4]\).
Di conseguenza, per tali valori di \(x\), si può definire univocamente \(y = g(x) = \varphi^{-1}(x)\), \(x\in [0,4]\).
Per quanto già detto la funzione \(g\) avrà un massimo per \(x=1\), sarà monotona crescente in \([0,1]\) e decrescente in \([1,4]\), etc...
\[
h(x) = x^2 - 4\sqrt{x} - 7,
\qquad
\varphi(y) = e^{-y} - \sqrt{y}.
\]
La funzione \(\varphi\) è strettamente monotona decrescente in \([0,+\infty)\), e si ha \(Im(\varphi) = (-\infty, 1]\).
La relazione \(h(x) = \varphi(y)\) può quindi essere invertita quando \(h(x) \in Im(\varphi)\).
La funzione \(h\) è convessa, ha un minimo per \(x=1\) e si ha \(h(x) \in Im(\varphi)\) per \(x\in [0,4]\).
Di conseguenza, per tali valori di \(x\), si può definire univocamente \(y = g(x) = \varphi^{-1}(x)\), \(x\in [0,4]\).
Per quanto già detto la funzione \(g\) avrà un massimo per \(x=1\), sarà monotona crescente in \([0,1]\) e decrescente in \([1,4]\), etc...
Tenendo conto degli interventi di gugo e di Rigel vorrei dare le risposte ai vari quesiti posti dall'esercizio.
Riscrivo con mie notazioni il problema :
$F(x,y) = x^2+sqrt(y)-4sqrt(x)-7-e^(-y) =0 $
E' già stato dimostrato che $F(x,y)$ definisce un'unica funzione implicita $y=g(x)$ nel dominio $E=[0,4] $.
Il punto $(4,0)$ soddisfa l'equazione $F(x,y)=0 $ ma le ipotesi del teorema di Dini non sono soddisfatte nei punti di ordinata nulla .Ci si deve dunque fermare al valore $x=4 $ .
Oppure è possibile trovare un'altra funzione implicita definita in $E1 = [4,+oo ) $ ?. Da notare che $g(x)$ si annulla solo per $x=4$.
Infatti risolvendo l'equazione $x^2-4x-7-1=0 $ si trova l'unica soluzione $x= 4 $.
Riscrivo con mie notazioni il problema :
$F(x,y) = x^2+sqrt(y)-4sqrt(x)-7-e^(-y) =0 $
E' già stato dimostrato che $F(x,y)$ definisce un'unica funzione implicita $y=g(x)$ nel dominio $E=[0,4] $.
Il punto $(4,0)$ soddisfa l'equazione $F(x,y)=0 $ ma le ipotesi del teorema di Dini non sono soddisfatte nei punti di ordinata nulla .Ci si deve dunque fermare al valore $x=4 $ .
Oppure è possibile trovare un'altra funzione implicita definita in $E1 = [4,+oo ) $ ?. Da notare che $g(x)$ si annulla solo per $x=4$.
Infatti risolvendo l'equazione $x^2-4x-7-1=0 $ si trova l'unica soluzione $x= 4 $.
La funzione $ y=g(x) $ come già mostrato da Rigel è crescente per $0
Andamento di $g(x) $ per $x =0 $ ; essendo $ sqrt(y) -7-e^(-y)=0 $ verificata per $ x ~ 49 $ si ha che $g(0) ~ 49 $.
Valutiamo $g'(x)= -F_x/F_y = - (2x-2/(sqrt(x)))/( 1/(2sqrt(y))+e^(-y))$ per cui $ lim_(x rarr 0^+) g'(x)= +oo $ .( denominatore sempre positivo ).
Valutiamo anche $lim_(x rarr 4^-)g'(x)= 0^-$.Asse x asintoto orizzontale (?)..
Commenti, osservazioni ed altro.. saranno graditi
Andamento di $g(x) $ per $x =0 $ ; essendo $ sqrt(y) -7-e^(-y)=0 $ verificata per $ x ~ 49 $ si ha che $g(0) ~ 49 $.
Valutiamo $g'(x)= -F_x/F_y = - (2x-2/(sqrt(x)))/( 1/(2sqrt(y))+e^(-y))$ per cui $ lim_(x rarr 0^+) g'(x)= +oo $ .( denominatore sempre positivo ).
Valutiamo anche $lim_(x rarr 4^-)g'(x)= 0^-$.Asse x asintoto orizzontale (?)..
Commenti, osservazioni ed altro.. saranno graditi
L'andamento qualitativo mi sembra corretto: il grafico della funzione presenta una tangente verticale per \(x=0\), mentre la tangente è orizzontale in \(x=4\) (che dovrebbe essere punto di minimo assoluto).
Per \(x>4\), per i motivi già descritti, non ci sono valori di \(y\) che annullino \(F\), dunque non è definita alcuna funzione implicita.
Per \(x>4\), per i motivi già descritti, non ci sono valori di \(y\) che annullino \(F\), dunque non è definita alcuna funzione implicita.
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