[EX] Calcolo serie

[dan952]

Calcolare la somma della serie:
$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{3^n\pi^{n+1}}{(n+1)!}$$

[Light_1]

Ciò giocato un pochino giusto per sport

Probabilissimo che abbia scritto qualche cavolata

Allora

$ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{3^n\pi^{n+1}}{(n+1)!}=pi\sum_{n=1}^{+\infty}(3pi)^n/((n+1)n!) $

$ =pi(e-1)\sum_{n=1}^{+\infty}(3pi)^n/((n+1)) $

se posso più tardi cerco di vedere quante ne ho scritte !

[dan952]

"Light_":Ciò giocato un pochino giusto per sport

Probabilissimo che abbia scritto qualche cavolata

Mi sa di si

[gugo82]

Beh, semplice... Da Analisi I, direi.

Tenendo presente che:
\[
e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}
\]
per ogni \(x\in \mathbb{R}\), si ha:
\[
\begin{split}
\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n\pi^{n+1}}{(n+1)!} &= \frac{1}{3}\cdot \sum_{n=1}^\infty\frac{(3\pi)^{n+1}}{(n+1)!}\\
&\stackrel{k=n+1}{=} \frac{1}{3}\cdot \sum_{k=2}^\infty\frac{(3\pi)^k}{k!}\\
&= \frac{1}{3}\cdot \left( \sum_{k=0}^\infty\frac{(3\pi)^k}{k!} - 1 - 3\pi\right)\\
&= \frac{1}{3}\cdot \left( e^{3\pi} - 1 - 3\pi\right)\\
[&\approx 4127.074]\; .
\end{split}
\]

[dan952]

"gugo82":Beh, semplice... Da Analisi I, direi.

Si lo so. In futuro inventerò esercizi più difficili