Eventuali soluzioni di un'equazione differenziale
Salve a tutti.
Questa equazione differenziale:
$y''-5y'-7y=4e^(-3x)$
ha integrale generale:
$ y =c_1*e^(\frac{5 + \sqrt{53}}{2}x) + c_2*e^(\frac{5 - \sqrt{53}}{2}x )+ 4/17*e^{-3x} $
E' richiesto di determinare le eventuali soluzioni che verificano:
$y(0)=0$
$\lim_{x \to \infty}y(x)=0$
Nel primo caso ottengo:
$c_1 + c_2 + 4/17 =0$
A questo punto come completo il problema di Cauchy? Non riesco a trovare soluzioni per entrambe le costanti. mi viene fornita una sola condizione iniziale. Devo aver male interpretato la teoria certamente
Il secondo caso purtroppo non riesco a capire cosa dovrei fare. Non ho trovato letteratura a riguardo.
Considero forse la funzione con limite che tende ad infinito rispetto ad x, e poi ne studio il variare di c1 e c2 tali che rendano quel limite nullo?
Grazie per l'attenzione.
Questa equazione differenziale:
$y''-5y'-7y=4e^(-3x)$
ha integrale generale:
$ y =c_1*e^(\frac{5 + \sqrt{53}}{2}x) + c_2*e^(\frac{5 - \sqrt{53}}{2}x )+ 4/17*e^{-3x} $
E' richiesto di determinare le eventuali soluzioni che verificano:
$y(0)=0$
$\lim_{x \to \infty}y(x)=0$
Nel primo caso ottengo:
$c_1 + c_2 + 4/17 =0$
A questo punto come completo il problema di Cauchy? Non riesco a trovare soluzioni per entrambe le costanti. mi viene fornita una sola condizione iniziale. Devo aver male interpretato la teoria certamente
Il secondo caso purtroppo non riesco a capire cosa dovrei fare. Non ho trovato letteratura a riguardo.
Considero forse la funzione con limite che tende ad infinito rispetto ad x, e poi ne studio il variare di c1 e c2 tali che rendano quel limite nullo?
Grazie per l'attenzione.
Risposte
Sei sicuro che la richiesta sia per $ x rightarrow oo $ e non invece per $x rightarrow +oo $.
Se così fosse allora deve sparire il termine che ha esponenziale positivo , in quanto diverge per $x rightarrow +oo $ e quindi deve essere $c_1 =0 $.
La soluzione trovata è quindi infinitesima per $ x rightarrow + oo $ ; infatti $(5-sqrt(53))/2 < 0 $.
Se così fosse allora deve sparire il termine che ha esponenziale positivo , in quanto diverge per $x rightarrow +oo $ e quindi deve essere $c_1 =0 $.
La soluzione trovata è quindi infinitesima per $ x rightarrow + oo $ ; infatti $(5-sqrt(53))/2 < 0 $.
Grazie innanzitutto per la risposta; effettivamente sono stato distratto nella trascrizione dal foglio originale! E' infatti $ x rightarrow +oo$
In questo caso quindi, calcolando che la frazione è minore di zero, effettivamente l'esponenziale non diverge.
Quindi avrei $c_1 = 0$
e
$c_2= -4/17$
Grazie mille Camillo, mi hai illuminato
In questo caso quindi, calcolando che la frazione è minore di zero, effettivamente l'esponenziale non diverge.
Quindi avrei $c_1 = 0$
e
$c_2= -4/17$
Grazie mille Camillo, mi hai illuminato
Salve a tutti,
ho trovato ques'altra equazione che si presenta in questo modo:
$y''-5y'-6y=16e^(-2x)$
La cui soluzione è:
$y= c_1e^(3x)+c_2e^(2x)+2e^(-2x)$
anche in questo caso il problema propone:
$y(0)=0$
$\lim_{x \to +\infty}y(x)=0$
Provando ad utilizzare il metodo consigliatomi da Camillo, ho però in questo caso due esponenti positivi.
Rimango con:
$c_1+c_2=-2$
e non riesco a proseguire perchè in teoria dovrei considerare nulle entrambe le costanti.
Ma anche facendo questo non risulterebbe valida l'equazione perchè troverei:
$0+0=-2$
Avete qualche suggerimento?
Grazie per l'attenzione
ho trovato ques'altra equazione che si presenta in questo modo:
$y''-5y'-6y=16e^(-2x)$
La cui soluzione è:
$y= c_1e^(3x)+c_2e^(2x)+2e^(-2x)$
anche in questo caso il problema propone:
$y(0)=0$
$\lim_{x \to +\infty}y(x)=0$
Provando ad utilizzare il metodo consigliatomi da Camillo, ho però in questo caso due esponenti positivi.
Rimango con:
$c_1+c_2=-2$
e non riesco a proseguire perchè in teoria dovrei considerare nulle entrambe le costanti.
Ma anche facendo questo non risulterebbe valida l'equazione perchè troverei:
$0+0=-2$
Avete qualche suggerimento?
Grazie per l'attenzione
Rivedi i conti per il calcolo delle radici dell'equazione caratteristica che non sono $2 ; 3 $ .
Accidenti, ho usato il segno sbagliato!
Tutto risolto, grazie mille
Tutto risolto, grazie mille
Approfitto del thread per porre un quesito:
L'equazione differenziale:
$y'''+y''+9y'+9y=sinx-5e^(-x)+18$
ha soluzione dell'omogenea associata pari a:
$y=c_1e^(-x)+c_2sin(3x)+c_3cos(3x)$
La soluzione della funzione seno è:
$\phi(x)=1/16sinx-1/16cosx$
La soluzione dell'esponenziale:
$\phi(x)=0$
la soluzione dell'equazione (in questo caso costante):
$\phi(x)=2
La soluzione complessiva è la somma delle varie soluzioni.
Ora mi chiedo,
1. nell'ultimo caso ho un'equazione in cui è presente solo il termine $c$ di $ax^2+bx+c$, la cui soluzione è così semplice come l'ho ricavata? Ossia:
$\phi(x)=c$
$9c=18 -> c=2$
$\phi(x)=2$
2. e nel caso dell'esponenziale, venendo con la sostituzione nelle derivate dell'equazione, per $\phi(x)=ae^(-x)$:
$-ae^(-x)+ae^(-x)-9ae^(-x)+9ae^(-x)=5$
e quindi:
$0=5 -> a=0$
$\phi(x)=0$
E' il modo corretto di risolvere questo tipo di equazioni differenziali?
Grazie come sempre a tutti.
L'equazione differenziale:
$y'''+y''+9y'+9y=sinx-5e^(-x)+18$
ha soluzione dell'omogenea associata pari a:
$y=c_1e^(-x)+c_2sin(3x)+c_3cos(3x)$
La soluzione della funzione seno è:
$\phi(x)=1/16sinx-1/16cosx$
La soluzione dell'esponenziale:
$\phi(x)=0$
la soluzione dell'equazione (in questo caso costante):
$\phi(x)=2
La soluzione complessiva è la somma delle varie soluzioni.
Ora mi chiedo,
1. nell'ultimo caso ho un'equazione in cui è presente solo il termine $c$ di $ax^2+bx+c$, la cui soluzione è così semplice come l'ho ricavata? Ossia:
$\phi(x)=c$
$9c=18 -> c=2$
$\phi(x)=2$
2. e nel caso dell'esponenziale, venendo con la sostituzione nelle derivate dell'equazione, per $\phi(x)=ae^(-x)$:
$-ae^(-x)+ae^(-x)-9ae^(-x)+9ae^(-x)=5$
e quindi:
$0=5 -> a=0$
$\phi(x)=0$
E' il modo corretto di risolvere questo tipo di equazioni differenziali?
Grazie come sempre a tutti.
Trovato l'errore nel punto 2.
bisogna stare attenti che l'esponente di $e$ in $ae^(-x)$ è pari a $-1$ che è anche radice dell'omogenea associata.
Quindi $\phi(x) = x(ae^(-x))$
bisogna stare attenti che l'esponente di $e$ in $ae^(-x)$ è pari a $-1$ che è anche radice dell'omogenea associata.
Quindi $\phi(x) = x(ae^(-x))$
Esatto , su queste basi devi cercare una soluzione particolare della equazione con termine noto pari a $-5 e^(-x) $ .
Ora, però, sono incappato in un'equazione sulla quale nè Marcellini-Sbordone, nè Zwirner riescono ad essermi d'aiuto.
La seguente:
$y'''-y''+4y'-4y=sin^2(x)$
che ha soluzione dell'omogenea associata pari a:
$y=c_1e^x+c_2sin(2x)+c_3cos(2x)$
Ora però non so come continuare con il $sen^2(x)$
Io conosco solo la formula: $\phi(x)= P(x)e^(hx)sen(kx)$
ma non credo sia utilizzabile in questo caso.
Come mi suggerireste di operare? Esiste forse una regola che mi sfugge?
Grazie
La seguente:
$y'''-y''+4y'-4y=sin^2(x)$
che ha soluzione dell'omogenea associata pari a:
$y=c_1e^x+c_2sin(2x)+c_3cos(2x)$
Ora però non so come continuare con il $sen^2(x)$
Io conosco solo la formula: $\phi(x)= P(x)e^(hx)sen(kx)$
ma non credo sia utilizzabile in questo caso.
Come mi suggerireste di operare? Esiste forse una regola che mi sfugge?
Grazie
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