Eulero

[pick-votailprof]

Ciao a tutti, vorrei vedere la dimostrazione della formula di Eulero:

exp^(jw) = cos(w) + j sin(w)


se qualcuno la sa oppure conosce un sito dove trovarla ve ne sarei grato.

[goblyn]

Ciao!
Nel campo complesso si pone PER DEFINIZIONE:

exp(z)=S[n=0,+inf]((z^n)/n!)

dove il simbolo S[n=0,+inf] sta per somma su n da 0 a + infinito,
e z=x+iy. Tale serie converge per ogni z complesso. In particolare, quindi, anche per z=x e x=iy con x e y reali.

Quindi, per definizione:

exp(x)=S[n=0,+inf]((x^n)/n!)

esattamente come nel campo reale.
Inoltre:

exp(iy)=S[n=0,+inf](((iy)^n)/n!)

Dall'ultima formula si ottiene (ometto i passaggi, comunque basta sommare termine a termine le serie corrspondenti ai due esponenziali, usare l'uguaglianza -1=i^2 e operare una sostituzione d'indice n=2k):

1/2*(exp(iy)+exp(-iy))=S[k=0,+inf]( ( ((-1)^n)* y^(2n) ) / (2n)! )

Il secondo membro dell'ultima equazione è la serie di taylor di cos(y). Quindi:

cos(y)=1/2*(exp(iy)+exp(-iy)) (1)

Allo stesso modo si dimostra che:

sin(y)=1/(2i)*(exp(iy)-exp(-iy)) (2)

Quindi:

cos(y)+i*sin(y)=1/2*(exp(iy)+exp(-iy)+exp(iy)-exp(-iy))

Da cui si ottiene:

cos(y)+i*sin(y)=exp(iy)

Ecco fatto!

goblyn



Modificato da - goblyn il 05/05/2003 21:49:13