$\eta\in C^\infty$ nulla prima di un punto e $1$ dopo un altro

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Sto cercando di costruire una funzione $\eta\in C^\infty(\mathbb{R})$ tale che $$\forall t\le a\quad\eta(t)=0\quad\land\quad\forall t\ge b\quad\eta(t)=1$$Qualcuno ha qualche idea?
$\infty$ grazie a tutti!

[Rigel1]

Assumendo \(a < b\), parti dalla funzione
\[
\phi(t) :=
\begin{cases}
0, &\text{se}\ t < (a+b)/2,\\
1, &\text{se}\ t \geq (a+b)/2.
\end{cases}
\]
Detta \((\varphi_\epsilon)\) la famiglia standard di mollificatori, ti basta prendere la convoluzione \(\eta = \varphi_\epsilon \ast \phi\) per \(\epsilon < (b-a) / 2\).

[DavideGenova1]

Mi sa che è una faccenda meno banale di quanto immaginassi, infatti pensavo che si potesse comporre in qualche modo, almeno a tratti, la funzione esponenziale con qualcos'altro...
Possono essere scritte esplicitamente le \(\varphi_\epsilon\)?
Per convoluzione immagino tu intenda \(\eta(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(x)\phi(t-x)dx\), giusto?
$\infty$ grazie ancora!

[Wilde1]

Preso $f(x)= 0$ se $x<0$ e $f(x)=e^(-1/x)$ se $x>=0$

Poi definiamo $g(x)= f(x)/(f(x)+f(1-x))$ e questa è la funzione cercata (con a=0 e b=1)

[_fabricius_1]

All'inizio del secondo capitolo di queste dispense si parla un po' delle funzioni \(\mathcal C^\infty\), potrebbe esserti utile.

[DavideGenova1]

"Wilde":Poi definiamo $g(x)= f(x)/(f(x)+f(1-x))$ e questa è la funzione cercata (con a=0 e b=1)

...e, nel caso generale,$$g(x)= \frac{f(x-a)}{f(x-a)+f(b-x)}$$
$\infty$ grazie a tutti e tre, ragazzi!!!