Estremo superiore in due variabili

[alex235]

Ciao a tutti!
Qualcuno può aiutarmi con la risoluzione di questo estremo superiore?
Andrebbe bene anche una stima dall'alto.
\( \sup_{s,t\in\left[ 0,1\right], s \neq t } \frac{\lvert e^{a_{1}(t-s)} - 1 \rvert}{\lvert t-s \rvert^{2\alpha}}\\
a_1\in R \qquad e \qquad \alpha >0. \)

Grazie!

[Antimius]

Siccome sei su un dominio limitato e la funzione è continua, l'unico problema all'eventuale non limitatezza dela funzione è rappresentato dalla retta $t=s$ dove la funzione non è definita. Quindi, ti consiglio di studiare prima il limite $s \to t$, aiutandoti con il limite notvole $\frac{e^x - 1}{x} \to 1$. A questo punto, esclusi i casi in cui la funzione è illimitata, per gli altri casi si tratta di fare una massimizzazione vincolata sul quadrato $[0,1] \times [0,1]$.

EDIT: in realtà, molto più semplicemente, visto che è una funzione in $t-s$, ti conviene direttamente studiare la funzione di una variable, tramite la sostituzione $x = t-s$.

[alex235]

"Antimius":Siccome sei su un dominio limitato e la funzione è continua, l'unico problema all'eventuale non limitatezza dela funzione è rappresentato dalla retta $t=s$ dove la funzione non è definita. Quindi, ti consiglio di studiare prima il limite $s \to t$, aiutandoti con il limite notvole $\frac{e^x - 1}{x} \to 1$. A questo punto, esclusi i casi in cui la funzione è illimitata, per gli altri casi si tratta di fare una massimizzazione vincolata sul quadrato $[0,1] \times [0,1]$.

EDIT: in realtà, molto più semplicemente, visto che è una funzione in $t-s$, ti conviene direttamente studiare la funzione di una variable, tramite la sostituzione $x = t-s$.

Ok, grazie per l'aiuto!

[Antimius]

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