Estremo superiore ed inferiore
Ciao a tutti devo trovare l'estremo superiore ed inferiore di questo sottoinsieme di R:
${(-1)^n*(2n-1)/n}$ con n appartenente ai Naturali (escluso lo zero).
Ho pensato di studiare il caso di n pari e n dispari..
Ho provato il caso n pari in questo modo ${x∈R$ $/ x= (2n-1)/(2n)$ per ogni $n∈N(pari)}$
Prima di tutto vorrei sapere se è sbagliato moltiplicare soltanto l'n al denominatore per 2 per far vedere che è solo un numero pari... e poi non so come andare avanti non riesco a trovarli sti estremi ...
${(-1)^n*(2n-1)/n}$ con n appartenente ai Naturali (escluso lo zero).
Ho pensato di studiare il caso di n pari e n dispari..
Ho provato il caso n pari in questo modo ${x∈R$ $/ x= (2n-1)/(2n)$ per ogni $n∈N(pari)}$
Prima di tutto vorrei sapere se è sbagliato moltiplicare soltanto l'n al denominatore per 2 per far vedere che è solo un numero pari... e poi non so come andare avanti non riesco a trovarli sti estremi ...
Risposte
in pratica,
1) per $n$ dispari devi considerare la successione di termini negativi $1/n-2$
2) per $n$ pari la successione di termini positivi $2-1/n$
1) per $n$ dispari devi considerare la successione di termini negativi $1/n-2$
2) per $n$ pari la successione di termini positivi $2-1/n$
Ah quindi se considero n pari devo moltiplicare anche il 2n al numeratore per 2?
e nel caso di n dispari moltiplico numeratore e denominatore per 2 e sommo anche +1 ?
Ma anche considerando così le successioni non riesco a trovare gli estremi
e nel caso di n dispari moltiplico numeratore e denominatore per 2 e sommo anche +1 ?
Ma anche considerando così le successioni non riesco a trovare gli estremi
$1/n-2$ è decrescente e tende a $-2$
$2-1/n$ è crescente e tende a $2$
$i nf=-2$
$s up=2$
$2-1/n$ è crescente e tende a $2$
$i nf=-2$
$s up=2$
1) Si, sbagli a moltiplicare per $2$ soltanto il denominatore.
2) Dato che la successione $\{2-\frac{1}{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ è monotona crescente (e quindi la successione $\{-2+\frac{1}{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ è monotona decrescente), puoi dedurre che l'estremo superiore è (ponendo $n=2k$)
\[
\lim_{k\to +\infty}2-\frac{1}{2k}=2
\]
e l'estremo inferiore è (ponendo $n=2k+1$)
\[
\lim_{k\to +\infty} -2+\frac{1}{2k+1}=-2.
\]
2) Dato che la successione $\{2-\frac{1}{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ è monotona crescente (e quindi la successione $\{-2+\frac{1}{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ è monotona decrescente), puoi dedurre che l'estremo superiore è (ponendo $n=2k$)
\[
\lim_{k\to +\infty}2-\frac{1}{2k}=2
\]
e l'estremo inferiore è (ponendo $n=2k+1$)
\[
\lim_{k\to +\infty} -2+\frac{1}{2k+1}=-2.
\]
da cosa capisci che è descrescente o crescente?
dal fatto che $1/n$ è decrescente
quindi $1/n-2$ è un numero sempre più piccolo,$2-1/n$ è un numero sempre più grande
quindi $1/n-2$ è un numero sempre più piccolo,$2-1/n$ è un numero sempre più grande
Ok ma se facessi una cosa del tipo:
2 è estremo superiore perché:
1) è maggiorante in quanto $2>=2-1/(2k)$
2) Per ogni ε>0 esiste un k appartenente a N / $2-1/(2k)>2-ε$ verificata per $k>1/ε$ e ciò è possibile perché N è illimitato superiormente in R.
Va bene anche cosi?
2 è estremo superiore perché:
1) è maggiorante in quanto $2>=2-1/(2k)$
2) Per ogni ε>0 esiste un k appartenente a N / $2-1/(2k)>2-ε$ verificata per $k>1/ε$ e ciò è possibile perché N è illimitato superiormente in R.
Va bene anche cosi?
sì
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