Estremo superiore ed inferiore
L'esercizio è il seguente:
Sia $ E={(xy)/(x^2+y^2):x
Non riesco a capire come fa ad arrivare a quella diseguaglianza. Qualcuno può spiegarmelo ? Grazie.
Sia $ E={(xy)/(x^2+y^2):x
Non riesco a capire come fa ad arrivare a quella diseguaglianza. Qualcuno può spiegarmelo ? Grazie.
Risposte
Ciao 
È la disuguaglianza $GM<= AM$(media geometrica $<=$ media aritmetica)
Siano $x, y in RR^+$, vogliamo dimostrare che $sqrt(x y) <= (x+y)/2$.
Partendo dalla disuguaglianza si ha $sqrt(xy) <= (x+y)/2$, eleviamo al quadrato ambo i membri: $sqrt(x^2y^2) <= (x+y)^2/4$.
Ora, $sqrt(x^2y^2) =|xy| = xy$ perché $x,y in RR^+$,
Quindi: $4xy <= x^2 +2xy + y^2 => x^2 -2xy +y^2 >= 0 => (x-y)^2 >= 0$ che è sempre verificata per ogni $x,y in RR^+$.
La disuguaglianza può essere estesa a $n$ termini, cioè: $root(n)(x_1*...*x_n) <= (x_1 +...+x_n)/n$.
Tutto chiaro?
Edit: rileggendo meglio la traccia, noto che non specifica che $x,y$ siano reali positivi quindi non è detto che la disuguaglianza derivi dalla GM-AM.
Ad ogni modo la si può dimostrare con lo stesso procedimento:
$xy <= (x^2 +y^2)/2 => 2xy <= x^2 + y^2 => x^2 -2xy +y^2 >= 0 => (x-y)^2 >= 0$ Che è vera $forall x,y in RR$
Ciao
È la disuguaglianza $GM<= AM$(media geometrica $<=$ media aritmetica)
Siano $x, y in RR^+$, vogliamo dimostrare che $sqrt(x y) <= (x+y)/2$.
Partendo dalla disuguaglianza si ha $sqrt(xy) <= (x+y)/2$, eleviamo al quadrato ambo i membri: $sqrt(x^2y^2) <= (x+y)^2/4$.
Ora, $sqrt(x^2y^2) =|xy| = xy$ perché $x,y in RR^+$,
Quindi: $4xy <= x^2 +2xy + y^2 => x^2 -2xy +y^2 >= 0 => (x-y)^2 >= 0$ che è sempre verificata per ogni $x,y in RR^+$.
La disuguaglianza può essere estesa a $n$ termini, cioè: $root(n)(x_1*...*x_n) <= (x_1 +...+x_n)/n$.
Tutto chiaro?
Edit: rileggendo meglio la traccia, noto che non specifica che $x,y$ siano reali positivi quindi non è detto che la disuguaglianza derivi dalla GM-AM.
Ad ogni modo la si può dimostrare con lo stesso procedimento:
$xy <= (x^2 +y^2)/2 => 2xy <= x^2 + y^2 => x^2 -2xy +y^2 >= 0 => (x-y)^2 >= 0$ Che è vera $forall x,y in RR$
Ciao
Benissimo non la sapevo. Grazie mille!!
Solo una cosa: per trovare l'estremo inferiore quale ragionamento va seguito ? In questo caso non sapendo se x ed y sono positivi o meno non posso eliminare il valore assoluto vero ? Grazie ancora.
"Meetmat":
Solo una cosa: per trovare l'estremo inferiore quale ragionamento va seguito ? In questo caso non sapendo se x ed y sono positivi o meno non posso eliminare il valore assoluto vero ? Grazie ancora.
Aspetta, ho fatto un edit poco dopo averti risposto:
"Shocker":
Edit: rileggendo meglio la traccia, noto che non specifica che $ x,y $ siano reali positivi quindi non è detto che la tua disuguaglianza derivi dalla GM-AM.
Ad ogni modo la si può dimostrare con lo stesso procedimento:
$ xy <= (x^2 +y^2)/2 => 2xy <= x^2 + y^2 => x^2 -2xy +y^2 >= 0 => (x-y)^2 >= 0 $ Che è vera $ forall x,y in RR $
Ciao
La disuguaglianza GM-AM vale solo per numeri reali positivi. La traccia dice $(x,y) in RR^2$ quindi non ha senso considerare la tua disuguaglianza come GM-AM.
Sisi ok. E' solo che non capisco come ricavare l'estremo inferiore che dovrebbe essere -1/2.
"Meetmat":
Sisi ok. E' solo che non capisco come ricavare l'estremo inferiore che dovrebbe essere -1/2.
Premetto che non ho mai affrontato esercizi del genere(cioè con insiemi definiti da funzioni a due variabili).
La butto lì: per $x,y$ dello stesso segno si ha $(xy)/(x^2 +y^2) <= 1/2$, quindi non rimane che valutare il caso $x,y$ con segni discordi: $(-xy)/(x^2 + y^2) <= 1/2 => (xy)/(x^2 + y^2) >= -1/2$. Per quanto riguarda le coppie $(0,y); (x,0)$, in entrambi i casi si ottiene $0$.
Tu perché hai tirato in ballo il valore assoluto?
Comunque meglio aspettare utenti più esperti.
Ciao
Avevo tirato in ballo il valore assoluto per la disuguaglianza (media geom.)<=(media arit.). Considerando che $ x,y $ non sono reali positivi avevo pensato di risolvere come: $ (xy)^(1/2)<=(x+y)/2 hArr |xy|<=(x^2+2xy+y^2)/4hArr |xy|<=(x^2+y^2)/4+(xy)/2 $ e da qui poi risolvere i due casi in cui $ xy>=0 $ e $ xy<0 $. Poi però mi hai fatto notare che la disuguaglianza citata inizialmente vale solo se $ x,y in RR^+ $ e quindi mi sono fermato.
Levando quest'ultima cosa potrebbe andar bene il ragionamento precedente ?
Levando quest'ultima cosa potrebbe andar bene il ragionamento precedente ?
"Meetmat":
Avevo tirato in ballo il valore assoluto per la disuguaglianza (media geom.)<=(media arit.). Considerando che $ x,y $ non sono reali positivi avevo pensato di risolvere come: $ (xy)^(1/2)<=(x+y)/2 hArr |xy|<=(x^2+2xy+y^2)/4hArr |xy|<=(x^2+y^2)/4+(xy)/2 $ e da qui poi risolvere i due casi in cui $ xy>=0 $ e $ xy<0 $. Poi però mi hai fatto notare che la disuguaglianza citata inizialmente vale solo se $ x,y in RR^+ $ e quindi mi sono fermato.
Levando quest'ultima cosa potrebbe andar bene il ragionamento precedente ?
Il ragionamento va bene ma secondo me è meglio se consideri $( (xy)^2)^(1/2)$ e non $(xy)^(1/2)$, così sorvoli direttamente la condizione d'esistenza della radice perché $(xy)^2 >= 0$ indipendentemente dai segni di $x,y$.
Ancora meglio così(senza radici quadrate): $xy <= |xy| <= (x^2 +y^2)/2$ e ciò implica che $-1/2 <= (xy)/(x^2 +y^2) <= 1/2$.
Spero di non aver detto cavolate(dovrebbe tornare tutto) e mi scuso per aver tirato in ballo una cosa che non c'entra nulla
.Ciao
Anche se in notevole ritardo, grazie.
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