Estremo superiore e quello inferiore di un insieme

[oxidojack]

ciao
sono uno studente della bicocca e tra 23 giorni avrei il parziale di analisi 1. vorrei preparami per l'esame(anche se vedo che è molto dura) e quindi mi sono messo a leggere il libro e le varie dispense che ho trovato in rete.
dopo aver capito la definizione di estremo superiore e quello inferiore ho deciso di fare qualche esercizio..



appena ho letto l'esercizio mi sono trovato perso con mille buchi in testa e con una sensazione di disperazione che ha preso il sopravvento perciò dopo tanti inutili tentativi di risolvere il problema mi rivolgo a voi che spero mi aiutate.
la soluzione di questo esercizio è:
m(Estremo inf) = -4
M(estremo sup) = 1

mi potete spiegare quali sono i ragionamenti che stanno dietro per poter arrivare a tale soluzione?
Grazie mille per l'aiuto

[Quinzio]

Il link all'immagine noi non lo vediamo perchè viene da un sito con password.

[oxidojack]

sistemato..adesso si dovrebbe vedere

[Quinzio]

A livello intuitivo ti dovrebbe essere chiaro che:
- la funzione è crescente, cioè $x(n+1)>x(n)$
- che quindi con n = 1 trovi il più piccolo
- che quindi con $n \to +oo$ ti avvicini sempre di più al massimo (se esiste)

[Gi81]

Inoltre, $(n^2-5)/(n^2)= 1- 5/(n^2)$

[Camillo]

@oxidojack : l'osservazione di Gi8 è molto utile ad es. per verificare formalmente che la funzione è crescente e quindi.....tutto viene di conseguenza.
Attenzione poi nel dire che l'inf è anche min ; il sup è anche max oppure no....

[oxidojack]

ho inziato a capire come dovrei ragionare.. ma non riesco ancora a capire perchè l'estremo superiore è 1 dato che comunque non c'è limite a n.

in questo caso -4 è considerato anche un minimo in quanto x appartione a R?

[Camillo]

Calcola $lim_(n rarr oo ) x = ... $ , $x $ è funzione crescente e capirai perchè $1 $ è l'estremo superiore ( ma non il massimo).
$-4 $ è l'estremo inferiore ed è anche il minimo perchè $ -4 in E $ e questo si ha per $n=1 $.