Estremo superiore e inferiore !!
Ho un dubbio con il seguente esercizio :
Trovare il supA e infA del seguente insieme :
\(\displaystyle A= \) {\(\displaystyle x\in\mathbb{R} : x^2 \in\mathbb{Q} \)}
il risultato è supA= \(\displaystyle + \infty \), infA=\(\displaystyle -\infty \).
Ora se ho \(\displaystyle x^2 : x\in \mathbb{R} \) abbastanza grande mi trovo con il fatto che sia supA= \(\displaystyle + \infty \), invece \(\displaystyle \forall x \in A : x<0 \) quindi una \(\displaystyle x \) negativa si ha \(\displaystyle x^2 > 0 \) , pertanto non può risultare infA= \(\displaystyle -\infty \).
Invece mi trovo con il risultato, solo se considero \(\displaystyle x^2 \in \mathbb{Q} \).
Ciao a presto
Trovare il supA e infA del seguente insieme :
\(\displaystyle A= \) {\(\displaystyle x\in\mathbb{R} : x^2 \in\mathbb{Q} \)}
il risultato è supA= \(\displaystyle + \infty \), infA=\(\displaystyle -\infty \).
Ora se ho \(\displaystyle x^2 : x\in \mathbb{R} \) abbastanza grande mi trovo con il fatto che sia supA= \(\displaystyle + \infty \), invece \(\displaystyle \forall x \in A : x<0 \) quindi una \(\displaystyle x \) negativa si ha \(\displaystyle x^2 > 0 \) , pertanto non può risultare infA= \(\displaystyle -\infty \).
Invece mi trovo con il risultato, solo se considero \(\displaystyle x^2 \in \mathbb{Q} \).
Ciao a presto
Risposte
Rileggi la definizione di quell'insieme ...
"$A$ è l'insieme di tutti i numeri reali tali che il loro quadrato sia un numero razionale"
Ok?
"$A$ è l'insieme di tutti i numeri reali tali che il loro quadrato sia un numero razionale"
Ok?
Perfetto, allora mi trovo quando ho scritto \(\displaystyle x^2 \in \mathbb {Q} \) ?
Grazie
Grazie
???
Quali sono gli elementi di quell'insieme?
Quando hai capito questo allora potrai determinare sup e inf ...
Quali sono gli elementi di quell'insieme?
Quando hai capito questo allora potrai determinare sup e inf ...
L'insieme \(\displaystyle A \) è composto dagli elementi \(\displaystyle x \in\mathbb{R} \) tali che il quadrato è un razionale in simboli si ha :
\(\displaystyle A= \) {\(\displaystyle x\in\mathbb{R} : x^2\in\mathbb{Q} \)}.
Pertanto si ha che l'estremo supA \(\displaystyle \infty \), infA=\(\displaystyle - \infty \).
\(\displaystyle A= \) {\(\displaystyle x\in\mathbb{R} : x^2\in\mathbb{Q} \)}.
Pertanto si ha che l'estremo supA \(\displaystyle \infty \), infA=\(\displaystyle - \infty \).
Questo è quello che avevi già scritto nel primo post, quindi qual è il dubbio?
Ho sbagliato ad articolare il post 
... non ero sicuro, quando ho scritto :
Invece mi trovo con il risultato, solo se considero \(\displaystyle x^2\in\mathbb{Q}\).
Comunque la soluzione è questa ?
... non ero sicuro, quando ho scritto :Invece mi trovo con il risultato, solo se considero \(\displaystyle x^2\in\mathbb{Q}\).
Comunque la soluzione è questa ?
Quello frase, messa così, non ha molto senso, lasciala perdere ... Invece dicci qual è il tuo dubbio, la tua difficoltà ...
La soluzione è un numero (se l'insieme è limitato) oppure $+-infty$ (se illimitato) ...
La soluzione è un numero (se l'insieme è limitato) oppure $+-infty$ (se illimitato) ...
La soluzione è \(\displaystyle \pm\infty \).
Quando ho postato il mio problema, ho dato le mie due possibilità:
1) Prima ipotesi: l'insieme \(\displaystyle A \) è composto solo da elementi \(\displaystyle x^2=(\tfrac{a}{b})^2 \), quindi per qualsiasi che \(\displaystyle x \) che si sceglie abbiamo sempre elementi positivi per cui l'estremo inferiore non può essere \(\displaystyle -\infty \), nello specifico \(\displaystyle \forall a,b \in\mathbb{Z} : a>b \rightarrow x^2>1 \) , se invece si ha \(\displaystyle \forall a,b \in\mathbb{Z} : a
2) Seconda ipotesi: l'insieme \(\displaystyle A \) è composto da elementi \(\displaystyle x\in\mathbb{R} \) tali che il quadrato è un razionale. Per cui l'estremo superiore, inferiore di \(\displaystyle A \) sono rispettivamente \(\displaystyle \pm\infty \).
Quando ho postato il mio problema, ho dato le mie due possibilità:
1) Prima ipotesi: l'insieme \(\displaystyle A \) è composto solo da elementi \(\displaystyle x^2=(\tfrac{a}{b})^2 \), quindi per qualsiasi che \(\displaystyle x \) che si sceglie abbiamo sempre elementi positivi per cui l'estremo inferiore non può essere \(\displaystyle -\infty \), nello specifico \(\displaystyle \forall a,b \in\mathbb{Z} : a>b \rightarrow x^2>1 \) , se invece si ha \(\displaystyle \forall a,b \in\mathbb{Z} : a
2) Seconda ipotesi: l'insieme \(\displaystyle A \) è composto da elementi \(\displaystyle x\in\mathbb{R} \) tali che il quadrato è un razionale. Per cui l'estremo superiore, inferiore di \(\displaystyle A \) sono rispettivamente \(\displaystyle \pm\infty \).
L'insieme $A$ NON è composto da elementi $y=x^2$ (ovvero da quadrati di numeri reali) ma da elementi $x$ tali che il LORO quadrato sia un numero razionale.
Quello che volevo suggerirti fin dall'inizio è che hai difficoltà nel comprendere come è definito un insieme e io ci lavorerei su questo ... IMHO
Cordialmente, Alex
Quello che volevo suggerirti fin dall'inizio è che hai difficoltà nel comprendere come è definito un insieme e io ci lavorerei su questo ... IMHO
Cordialmente, Alex
Grazie mille per il suggerimento...
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