Estremo superiore e inferiore

[Guly88]

Mostrare che se A ⊂ B ⊂ R, allora sup A ≤ sup B (convenendo che -∞ < x < +∞ per ogni x∈R). Osservare viceversa che per la validità di tale proprietà è essenziale porre supØ = -∞

ecco, non riesco a visualizzare la condizione in cui l'estremo inferiore possa essere -∞ ...nn ne capisco il significato

[dissonance]

L'estremo superiore, vuoi dire. E' una convenzione. Se hai un insieme contenente almeno un numero, per quanto questo numero possa essere negativo e grande in valore assoluto (che so, $-\text{cento miliardi}$), sarà sempre più grande di \(-\infty\). E quindi anche il sup di questo insieme sarà più grande di \(-\infty\). Ma l'insieme vuoto non contiene neanche un elemento, quindi convenzionalmente noi possiamo tranquillamente dire che il suo sup è \(-\infty\).

[Guly88]

si, scusa, superiore...due cose, se l'estremo superiore di un insieme è definito come quel valore che è sempre > di un qualsiasi x dell'insieme considerato, nn capisco come −∞ possa essere il sup di un insieme dato che nella mia testa −∞ è l'estremo inferiore per eccellenza, il valore che sarà sempre più piccolo di qualsiasi x appartenente ad un insieme.

La convenzione poi di considerare supØ = -∞ mi porta a chiedere, ma se il supØ = -∞ allora qual'è l'infØ = ?

grazie =)