Estremo Superiore e Inferiore
Ragazzi mi servirebbe una mano con questo esercizio:
Trovare Sup e Inf del seguente sottoinsieme di $RR$, specificando se si tratta di max e min.
$E ={ x/(1+x^2) | x in RR, x > -1 }$
controllo se -1 è l'Inf del sottoinsieme:
$ x/(1+x^2) > -1 $
$x^2+x+1 > 0 AA x in RR$
quindi $InfA = -1 != minA$
Mentre per il sup ho fatto in questo modo, ma non sono molto sicuro:
$lim_{x \to \infty}x/(1+x^2) = 0$
quindi $SupA = 0$
e dato che $0 in A, maxA = 0$
Trovare Sup e Inf del seguente sottoinsieme di $RR$, specificando se si tratta di max e min.
$E ={ x/(1+x^2) | x in RR, x > -1 }$
controllo se -1 è l'Inf del sottoinsieme:
$ x/(1+x^2) > -1 $
$x^2+x+1 > 0 AA x in RR$
quindi $InfA = -1 != minA$
Mentre per il sup ho fatto in questo modo, ma non sono molto sicuro:
$lim_{x \to \infty}x/(1+x^2) = 0$
quindi $SupA = 0$
e dato che $0 in A, maxA = 0$
Risposte
No, non ci siamo...
Quello che devi fare è studiare la derivata della funzione $x/(x^2+1)$. Essa risulta positiva nell'intervallo $[-1,1]$ e negativa altrove, quindi tra $-1$ e $1$ la funzione crescerà fino al suo massimo, poi scenderà... Dunque il suo massimo lo assume in $1$ (e calcola quant'è sostituendo). Per il minimo/estremo inferiore vediamo cosa accade per $x\to +\infty$ e notiamo che la funzione tende a $0$, perciò il suo minimo lo assumeva in $-1$, dove vale $-1/2$.
Paola
Quello che devi fare è studiare la derivata della funzione $x/(x^2+1)$. Essa risulta positiva nell'intervallo $[-1,1]$ e negativa altrove, quindi tra $-1$ e $1$ la funzione crescerà fino al suo massimo, poi scenderà... Dunque il suo massimo lo assume in $1$ (e calcola quant'è sostituendo). Per il minimo/estremo inferiore vediamo cosa accade per $x\to +\infty$ e notiamo che la funzione tende a $0$, perciò il suo minimo lo assumeva in $-1$, dove vale $-1/2$.
Paola
No... 
Devi pensare un po' all'andamento di $g(x) := x/(1+x^2)$. In $I:= (-1,0]$, $g(x)\le 0$, mentre in $J:= (0,+\infty)$ è $g$ positiva. In $I$ inoltre, $g$ è (strettamente) crescente (prova), quindi per il Teorema sul limite di funzioni monotòne,
\[\inf E =\inf_{x>-1}g(x)=\inf_{x\in (-1,0]} g(x)= \lim_{x\to -1^+}g(x)= -1/2\]
Un discorso simile puoi fare per $J$ (nota anche che $g$ è dispari - in $(-1,1)$).
EDIT: sorry Paola, non avevo visto il tuo intervento
Devi pensare un po' all'andamento di $g(x) := x/(1+x^2)$. In $I:= (-1,0]$, $g(x)\le 0$, mentre in $J:= (0,+\infty)$ è $g$ positiva. In $I$ inoltre, $g$ è (strettamente) crescente (prova), quindi per il Teorema sul limite di funzioni monotòne,\[\inf E =\inf_{x>-1}g(x)=\inf_{x\in (-1,0]} g(x)= \lim_{x\to -1^+}g(x)= -1/2\]
Un discorso simile puoi fare per $J$ (nota anche che $g$ è dispari - in $(-1,1)$).
EDIT: sorry Paola, non avevo visto il tuo intervento
Ho capito, grazie.. se invece devo trovare l'estremo superiore e inferiore di una successione procedo in modo analogo studiando la crescenza/decrescenza??
Beh dipende dal caso...come per (quasi) ogni cosa, non c'è un metodo standard.
Sì spesso si osserva che la successione è crescente o decrescente e si traggono questo tipo di conclusioni 
... a meno che tu non abbia cose oscillanti, ma di solito anche in questi casi si vede facilmente com'è l'andamento.
Paola
... a meno che tu non abbia cose oscillanti, ma di solito anche in questi casi si vede facilmente com'è l'andamento.Paola
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